Малые колебания механических систем	164

му уравнений (8.10) число независимых уравнений определяется разностью n − r, и, следовательно, при r ≥ 2 уравнений (8.12) – (8.13) становится недостаточно для однозначного определения амплитуд A(jαm) с точностью до числа. Остается (r − 1) свободных параметров.

Для нахождения полного набора решений A(jαm) на них дополнительно

к условиям нормировки (8.13) обычно налагаются еще и условия ортогональности

n
∑Ak(	αm ) Ak(	αl ) = 0,	m ≠ l .	(8.18)

k=1

8.Проверка и анализ решения. Рассматривается физический смысл полученного решения, проверяются самые простые предельные случаи.

Вынужденные и затухающие линейные колебания

Кратко рассмотрим колебания системы вблизи положения устойчивого равновесия в присутствии сил трения и вынуждающих сил.

Для простоты рассмотрим системы с одной степенью свободы (n = 1). В рамках принятого линейного приближения действующая на систему диссипативная (непотенциальная) сила должна линейно зависеть от обобщенной скорости q• . С учетом уравнений (5.18) в линейном приближении по смещениям от точки равновесия x и скоростям смещений x• получим следующее дифференциальное уравнение

&&	&	2	(8.19)
x	+ 2μx + ω0 x = 0 ,

где ω02 – собственная частота колебаний (см. 8.2a-е), μ – положительная величина, называемая коэффициентом затухания. С помощью стандартной подстановки x = exp(λt) находим решение, которое в случае слабого затухания (μ < ω0) выглядит следующим образом

x = ae−μt cos(ωt + φ) ,

(8.20)

где частота затухающих колебаний

ω = ω2	−μ2 .	(8.21)
0

Теоретическая физика. Механика (практический курс)	165

Вещественные константы a и φ определяются из начальных условий. Таким образом, появление трения в системе не только уменьшает со време-

нем амплитуду колебаний, но и сдвигает частоту затухающих колебаний

ω в область более низких частот.

Рассмотрим вынужденные малые колебания в системе, на которую действует некоторое достаточно слабое переменное внешнее поле. В этом случае наряду с собственной потенциальной энергией c0x2/2 система обладает еще потенциальной энергией Uex(x,t). Разлагая этот дополнительный член в ряд по степеням малой величины x, получим

ex		ex	dU ex
U	(x,t) ≈ U	(0,t) − xF(t), где F(t) = −			– вынуждающая "сила".
			dx
					x=0

Первый член Uex(0,t) в этом разложении является функцией только времени и может быть опущен в функции Лагранжа (как полная производная по t от некоторой другой функции времени). Приближенная функция Лагран-

~
жа L системы приобретает вид
~	•	• 2	2	+ xF(t).
L(x,x,t) = a0x /2			− c0x /2
Уравнение движения для вынужденных колебаний в линейном при-
ближении тогда записывается в таком виде
	&&	2		(8.22)
	x	+ ω0 x = Φ(t) ,

где введены собственная частота колебаний ω0 и Φ(t) = F(t)/a0 (см. 8.2а-д). Для решения неоднородного уравнения (8.22) осталось определить только частное решение xч.р., поскольку решение соответствующего одно-

родного уравнения (8.2в) уже известно (см. 8.2г)
x(t) = Acos(ω0t + φ) + xч.р..	(8.23)

Для простых зависимостей Φ(t) в большинстве задач, приведенных ниже, поиск xч.р. не представляет особой сложности. Тем не менее, уравнение (8.22) может быть проинтегрировано и в самом общем случае при помощи

•
подстановки ξ = x + iω0x. Тогда
t
ξ(t) = ξ0eiω0t + eiω0t ∫Φ(τ)e−iω0τdτ,	(8.24)

0