Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона	192

q&1 = ∂∂Hp1

q&2 = ∂H

∂p2q&3 = ∂∂Hp3

Функция Лагранжа (9.5)

= p3		p	= −q + q
			&	&
	p2	1	21		3
=		→ p2	= q1 q2 .
	q2		&
	1		= q1
		p3
			&

= p1 + p3

n

L(q,q&,t) = ∑p j (q,q&,t)q&j − H (q,p(q,q&,t),t )= (−q&1 + q&3 )q&1 + q12q&22 + q&1q&3 −

j=1

2 &2

&2

1

2

2

q1 q2

q1

−(−q1

+ q3 )q1 −

−

−

(q1

+ q2 )+ q3 (q1 + q2 )=

&

&

&

2

2

2

,

&2

2

&2

1

q1

q1 q2

& &

2

2

= −

+

−

(q1

+ q2 )+ q3

(q1

+ q2 )

2

2

+ q1q3

2

Разница с функцией Лагранжа в задаче 2 также в одном знаке.

Задачи

Обязательные задачи

9.1.Составить функцию Гамильтона:

а) свободной материальной точки в цилиндрических и сферических координатах; б) частицы, двигающейся в однородном поле тяжести;

в) частицы в системе отсчета, вращающейся с постоянной угловой скоростью Ω.

9.2.Найти функцию Гамильтона для частицы с зарядом e и массой m, двигающейся в неоднородном электромагнитном поле со скаляр-

ным потенциалом ϕ и векторным потенциалом А.

	1		e	2
H =		p +	c	A	+ eϕ
	2m

9.3.а) Найти функцию Гамильтона математического маятника, функция Лагранжа которого (ω – константа) L = ϕ• 2/2 − ω2(1 − cosϕ).

Теоретическая физика. Механика (практический курс)	193

б) Найти функцию Гамильтона этого математического маятника, выбирая в качестве обобщенной координаты x = [(1 − cosϕ)/2]1/2.

[ б) H = p2(1 − x2/4)/2 + ω2x2/2 ]

9.4.Найти функцию Гамильтона и составить канонические уравнения движения механической системы, лагранжиан которой имеет вид (a, b – константы)

а) L = (q• 21 + q• 22 )/2 − a(q1−q2)2/4 − b(q1 + q2)2/4;

б) L = (q• 12 + q• 22 )/4a + (q2q• 1 − q1q• 2)/2a + (q21 + q22 )/4a; в) L = q• 21 /2 + (q• 22 /2)sin2q1 + acosq1;

г) L = (q21 + q22 )(q• 12 + q• 22 − 2a)/2;

д) L = q• 1q• 2 − q1q2.

9.5.Найти функцию Лагранжа механической системы, гамильтониан

которой имеет вид (a, b, c – константы)

p2

а) H = 2m + (ap) + U(r), a – постоянный вектор;

б) H = p12 /6 + p22 /2 + q21 + q22 /2 + q1q2;

в) H = [p21 + 5p22 − 2p1p2cos(q1 − q2)]/{2[4 + sin2(q1 − q2)]} − − 3cosq1 − cosq2;

г) H = (p1 + p2)2/(2at2) + p22 /2 + acosq2; д) H = p21 /(4a) + p22 /[4(c2 + b2cos2q1)];

е) H = 2(q1p21 + q2p22 )/(q1 + q2) + p23 /(2q1q2) − a/(q1 + q2) + b(q1 − q2);

ж) H = p21 + p22 + 3p32 + 3p24 − 2p1p3−2p2p4)/2+2(q21 + q22 − q1q2) +

+(q23 + q42 )/4;

9.6.Найти закон движения частицы, функция Гамильтона которой

H(x,p) = p2/2 + ω02 x2/2 + λ(p2/2 + ω02 x2/2)2.

[x = acos(ωt + ϕ), p = −aω0sin(ωt + ϕ), где ω = ω0(1 + 2λA), A = a2ω20 /2]

Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона	194

9.7.Найти функцию Гамильтона и составить канонические уравнения движения для механических систем, описанных в задачах:

а) Задача 4, решенная в разделе 5 (уравнения Лагранжа);

б) 5.9;	в) 5.11;	г) 5.12;
д) 5.14;	е) 5.15;	ж) 5.16;
з) 5.19;	и) 5.23.

9.8.С помощью уравнений Гамильтона найти закон движения для частицы с массой m и зарядом е, двигающейся

а) в постоянном электрическом поле с потенциалом ϕ;

б) в постоянном магнитном поле H = Hez с векторным потенциалом

A(0,Hx,0);

в) одновременно в постоянном электрическом и магнитном полях.

	ϕ		9.9. Тяжелое		колечко	массы		m может скользить по
	•
		m	гладкой проволочной окружности массы М и ра-
	ψ		диуса R,		которая вращается вокруг своего верти-
			кального диаметра. Написать функцию Гамиль-
			тона и составить канонические уравнения системы.
					2			2
			H =		pϕ		+	pψ	+ mgR cosψ
				R2	(M + 2msin2 ψ)			2mR2

9.10.Составить канонические уравнения движения материальной точки массы m, двигающейся по гладкой сфере радиуса R в однородном поле тяжести.

	1		2		p2
					ϕ
H =		pθ		+				+ mgR cosθ
	2mR2				sin2
						θ

Задачи средней трудности

9.11.Составить функцию Гамильтона свободно двигающегося симметричного волчка (главные моменты инерции J1, J2 = J1, J3), используя в качестве координат эйлеровы углы ϕ, θ, ψ.

[H = p2θ /2J1 + (pϕ − pψcosθ)2/2J1sin2θ + p2ϕ /2J3]

Теоретическая физика. Механика (практический курс)	195

9.12.Найти функцию Гамильтона и составить канонические уравнения движения для механических систем, описанных в задачах:

а) 5.25; б) 5.30.

9.13.Найти функцию Гамильтона ангармонического осциллятора, функ-

ция Лагранжа которого L = x• 2/2 − ω2x2/2 − αx3 + βxx• 2, ω, α, β – константы.

[H = p2/[2(1 + 2βx)] + ω2x2/2 + αx3]

9.14.а) Найти уравнения движения частицы, функция Гамильтона кото-

c|p|

рой имеет следующий вид: H = n(p,r), где c – константа, а n(p,r) –

произвольная функция радиус-вектора r и импульса частицы p.

Примечание. Данный гамильтониан описывает распространение света в прозрачной среде с показателем преломления n. "Частицей" является

волновой пакет, r(t) – закон его движения, r• – его групповая скорость, а вектор p, перпендикулярный волновому фронту, определяет волновой вектор.

	&	cp	−	cp ∂n			,	&	cp ∂n
					2					2
r =		np		n		∂p		p =	n
											∂r

б) Найти траекторию, если n(r) = ax (a – константа).

[x = C1ch(y/C1 + C2)]

Задачи повышенной трудности

9.15.Треугольная призма массы М может сколь-

зить по гладкой горизонтальной плоскости.	•
Однородный цилиндр массы m и радиуса r	ϕ
может катиться без проскальзывания по бо-	α	x
ковой грани призмы, образующей угол α с

горизонтом. Найти функцию Гамильтона системы, составить канонические уравнения движения и решить их.

		3mr2 px2 + 2(m + M ) pϕ2 − 4mrpx pϕ cos α
		2mr2 3M + m(1+sin2	α)
	H =			− mgrϕsin α

Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона	196

9.16.Записать функцию и уравнения Гамильтона для механических систем, описанных в задачах:

а) 5.27; б) 5.33.

9.17.Найти функцию Лагранжа частицы, функция Гамильтона которой

c|p|

имеет следующий вид H = n(r), где c – константа, а n(r) – произ-

вольная функция радиус-вектора (см. выше задачу 9.14).

9.18.Составить канонические уравнения пространственного движения однородного стержня массы m и длины 2l в однородном поле тяжести. Найти первые интегралы движения.

9.19.Найти функцию Гамильтона и составить канонические уравнения движения двойного плоского маятника, состоящего из двух одинаковых стержней массы m и длины l.