Движение твердого тела. Неинерциальные системы	132

Задачи средней трудности

6.38.Определить положение центра инерции однородного тонкого диска

скруглым отверстием, предполагая, что радиус диска равен R, радиус отверстия равен r, а центр этого отверстия находится на расстоянии R/2 от центра диска.

	Rr	2
X = −
	2(R2 − r2 )

6.39.Определить главные моменты инерции кругового конуса с радиусом основания R и высотой h.

			3		2		h2				3			2
J1	= J2	=		R		+			,	J3 =			mR
			20				4				10

6.40.Вычислить тензор инерции тонкого однородного диска радиуса R и массы m в системе координат, оси которой образуют одинаковые углы с плоскостью диска, а начало совпадает с его центром.

6.41.Найти главные моменты инерции однородного шара радиуса R, в котором вырезана полость радиуса r, как показано на рисунке к задаче 6.6 в

m

2

5

5

(R − r)R3r3

m 2

5

5

J1

= J2

=

(R

− r

) −

,

J3 =

(R

− r

)

(R3 − r3 )

5

(R3

− r3 )

(R3 − r3 ) 5

6.42.Тензор инерции твердого тела в системе координат Ox1x2x3 имеет

	A	0	0
вид	0	B	D , где D ≠ 0 . Найти главные оси инерции тела и мо-
	0	D	C

менты инерции относительно этих осей.

6.43.Определить момент импульса кругового конуса с углом раствора α, вращающегося вокруг своей образующей с угловой скоростью ω.

J1′

2

sin

2

2

cos

2

α, (M

ω) =

α −β

,

M = ω

α + J3

J1′

где угол β определяется равенством tgβ =

tg α

J3

Теоретическая физика. Механика (практический курс)	133

6.44.Маятник состоит из стержня с двумя закрепленными на нем грузами, расстояние между которыми равно l; верхний груз имеет массу m1, нижний − массу m2. Определить, на каком расстоянии x от нижнего груза нужно поместить ось подвеса для того, чтобы период малых качаний маятника был наименьшим; массой стержня пренебречь и грузы считать материальными точками.

			m	+	m
	x = l	m	1		2
			m1	+ m2
		1

6.45.В механизме, показанном на рисунке, колесо с осью O1 неподвижно; к рукоятке O1O3 приложен вращающий момент силы L, механизм

расположен в горизонтальной плоскости. Пренебрегая массой рукоятки и считая колеса однородными дисками с одинаковыми массами m и радиусами R, определить угловое ускорение рукоятки.

ε = 22mRL 2

6.46.Однородный стержень AB длиной 2a движется под действием своего веса, скользя концом B по гладкому горизонтальному полу. Предполагая, что движение происходит в одной вертикальной плоскости, определить скорость центра тяжести стержня C в за-

висимости от его высоты над полом h. Считать, что в начальный момент стержень занимал вертикальное положение и находился в покое.

	6g(a + h)
v = (a − h)	4a2 −3h2

6.47.Два цилиндрических вала массы M1 и M2 скатываются по двум наклонным плоскостям, образующим соответственно углы α и β с горизонтом. Валы соединены

нерастяжимой и невесомой нитью, концы которой намотаны на валы и к ним прикреплены. Определить натяжение нити и ее ускорение при движении по наклонным плоскостям. Валы считать одно-

Движение твердого тела. Неинерциальные системы	134

родными круглыми цилиндрами.

		M1 sin α − M 2 sinβ		M1M 2 (sin α + sinβ)
	w = g		, T = g
		M1 + M 2		3(M1 + M 2 )

6.48. Тяжелый однородный стержень AB движется в шаровой чаше радиуса a, оставаясь в вертикальной плоскости, проходящей через центр чаши O. Начальное положение стержня указано на рисунке. Найти угловую скорость стержня в тот момент, когда он достигает горизонтального положения. Длина стержня равна радиусу чаши.

		3	3 g
ϕ&	=	5
				a

6.49.Однородный круговой цилиндр массы m, радиуса R и высоты h вращается с угловой скоростью ω вокруг оси АС, проходящей через центр масс цилиндра O и образующей угол α с его осью симметрии.

Ось АС совпадает с диагональю прямоугольной рамы ABCD, которая вращается вокруг верти-

кальной оси с угловой скоростью Ω. Найти кинетическую энергию цилиндра, если АВ = а,

BAC = β, AO = OC.

m

2 a2

2

R2

h2

2

T =

{Ω

tg β+

+

[ωsin α + Ωsin(α +β)]

+

2

4

4

12

R2

2

+

[ωcosα + Ωcos(α +β)] }

2

6.50. Тонкий прямолинейный однородный стержень массы m и длины l вращается с постоянной угловой скоростью ω около неподвижной точки O (шаровой шарнир), описывая коническую поверхность с осью OA и вершиной в точке O. Вычислить угол ϕ отклонения стержня от вертикального направления, а также величину N давления стержня на шарнир O.

Теоретическая физика. Механика (практический курс)										135
	3g			1	2		7g2
ϕ = arccos		,	N =		mlω	1+
	2			2			4l	2 4
	2lω							ω

6.51.Осью полого однородного цилиндра радиуса R и массы m служит легкий стержень, предназначенный для крепления маятника. В начальный момент цилиндр покоился на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости, а математический маятник длины l и массы m, подвешенный к середине оси цилиндра, был отклонен от вертикали перпендикулярно оси цилиндра на угол α. Найти амплитуду колебаний центра масс цилиндра.

x		=	2ml sin α
	max
			2M + m

Задачи повышенной трудности

6.52.Для однородного тетраэдра ABCDEF, усеченного параллельно основанию, даны площадь основания ABC = a,

площадь сечения DEF = b, расстояние между ними h. Найти расстояние Z до центра инерции данного усеченного тетраэдра от основания ABC.

	h a + 2	ab + 3b
Z =	4 a +	ab + b

6.53."Гармошка" ABCDE из четырех шарнирно соединенных однородных стержней длины l и массы m каждый стоит на гладком горизонтальном полу и удерживается в равновесии

стяжкой BD. После разрыва стяжки гармошка начинает падать. Предполагая, что движение происходит в вертикальной плоскости, найти зависимость скорости точки B от ее высоты h над полом, если в начальный момент эта высота была равна h0.

6.54.Используя уравнения Лагранжа, найти движение четырех одинаковых однородных цилиндров радиуса r, соединенных между собой нерастяжимыми невесомыми нитями, как показано на рисунке.

Движение твердого тела. Неинерциальные системы	136

Нити по цилиндрам не скользят, центры цилиндров 1, 2, 4 перемещаются по вертикали.

		Центры масс цилиндров1, 2 и 4 движутся с постоянными
		ускорениями w1 = 72 g,	w2 = 58 g,	w4	=	52 g .
		79	79			79
							2 g
		Угловое ускорение цилиндра 3 составляет ε3 =
							79 r

6.55.На цилиндр, ось C которого горизонтальна, положена цепочка, расположенная в плоскости, перпендикулярной к оси. Радиус цилиндра R, длина цепочки l. Масса цилиндра вдвое больше массы цепочки.

Вначальный момент с одной стороны цилиндра свешивался вдвое больший отрезок цепочки, чем с другой, и цепочка находилась в покое. Предполагая, что цепочка движется без скольжения, и пренебрегая силами трения, определить скорость цепочки в тот момент, когда конец короткого отрезка подойдет к цилиндру.

	1	2g
v =	3	l	(l − πR)

6.56.Однородный круглый диск, описанный в задаче 6.15, равномерно вращается вокруг оси z с угловой скоростью ω. Определить угловой момент диска относительно точки O.

6.57.Однородный стержень АВ массы m подвешен в точке С на двух нитях равной с ним длины. Определить натяжение одной из нитей в момент обрыва другой.

Указание. Составить уравнения движения стержня для весьма малого промежутка времени, следующего за моментом обрыва нити, пренебрегая изменением направления стержня и изменением расстояния центра масс стержня от другой нити.

6.58.Однородный цилиндр массы m и радиуса r свободно скатывается с неподвижного цилиндра радиуса R. Движение начинается из состояния покоя из наивысшего положения. Коэффициент трения

Теоретическая физика. Механика (практический курс)	137

скольжения равен f. Найти все значения угла ϕ, при которых качение происходит без скольжения. Для этих значений угла ϕ найти скорости точек оси цилиндра v(ϕ), нормальную реакцию N(ϕ) и силу трения

F(ϕ). Доказать, что катящийся без скольжения цилиндр не может оторваться от неподвижного цилиндра при конечном значении f раньше, чем начнется качение со скольжением.

Указание. Найти величину угла, которая бы соответствовала отрыву при качении без скольжения, и показать, что при всех конечных значениях f она превышает величину угла, при которой начинается скольжение.

6.59.Центр однородного диска радиуса R и массы m жестко соединен с тонким невесомым стержнем длины l = R/2. Другой конец стержня, образующего прямой угол с плоскостью диска, закреплен сферическим шарниром в

точке O. Определить движение диска в однородном поле тяжести

при	следующих начальных условиях:		ψ0 = 0, ϕ0 = 0, θ0 = π/4;
		&	θ и ψ − эйлеровы углы.
ψ0 = (1/3) g / R, ϕ0 = 3 g / R, θ = 0 , где ϕ,
&	&

6.60.Показать, что уравнения движения свободной материальной точки массы m относительно неинерциальной системы отсчета можно записать в форме уравнений Лагранжа с обобщенно-потенциальными силами с обобщенным потенциалом

U = −m([Ωr]v) + m(Wr) − m2 [Ωr]2 ,

где r −радиус-вектор точки, v − ее скорость, W − ускорение поступательного движения неинерциальной системы отсчета, а Ω − угловая скорость ее вращения.

6.61.Материальная точка массы m движется по гладкой окружности радиуса a, которая вращается в горизонтальной

плоскости вокруг вертикальной оси AB, проходящей через одну из точек окружности, с постоянной угловой скоростью ω. Используя

Движение твердого тела. Неинерциальные системы	138

неинерциальную систему отсчета, связанную с вращающейся окружностью, составить уравнения движения точки.

ϕ+&& ω2 sin ϕ = 0

6.62.Тело брошено из некоторой точки поверхности Земли с начальной скоростью v0. Принимая во внимание вращение Земли и считая угловую скорость ее вращения постоянной и малой, найти отклонение траектории движения тела от плоскости.