Приложение. Минимальные сведения по математике	226

то их дифференцирование осуществляется по следующему правилу. Пусть v(t) = v(t)e(t). Тогда

	de(t)	=[ωe(t)] и	dv(t)	&	(П.10)
	dt		dt
				= v(t)e(t) +[ωv(t)].

Вектор угловой скорости ω направлен (по правилу правого винта) вдоль оси поворота вектора скорости v(t) и имеет длину, равную угловой скорости поворота вектора v(t). Если вектор скорости не изменяется по длине, то вектора скорости и ускорения перпендикулярны друг другу.

Диагонализация матриц и соответственно невырожденных симметрических квадратичных форм сводится к следующим операциям:

1.Нахождения собственных значений исходной матрицы соответствующего порядка путем решения характеристического уравнения.

2.Нахождение ортонормированных собственных векторов матрицы для каждого вычисленного собственного значения.

3.Переход от начальных базисных векторов к найденным собственным векторам исходной матрицы, задающей квадратичную форму, приводит ее к диагональному виду.

Интегрирование элементарных функций

Стандартные методы замены переменной, интегрирование по частям и табличные интегралы от элементарных функций здесь не приводятся. В теоретической механике часто встречаются интегралы от дробно-рацио- нальных выражений и интегралы, содержащие корень от квадратного трехчлена. Интегралы первого типа после выделения корней полинома, соответствующего знаменателю сводятся к стандартным интегралам вида

∫	dx		,	∫	Mx + N		.
	(x − a)	α			(Ax2 + Bx +C )	p

Рационализация подынтегрального выражения в интегралах подобного ти-

па ∫R (x, a + bx + cx2 )dx осуществляется с помощью одной из следующих

трех подстановок, определяемых в математике как подстановки Эйлера:

Теоретическая физика. Механика (практический курс)	227
a + bx + cx2 = xt ± a (a > 0), a + bx + cx2 = t ± x c	(c > 0),

c(x − x1)(x − x2 ) = t(x − x1).

Основные дифференциальные уравнения и методы их решения

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

	dy		y	dy	x
		= f (x)g( y);	∫		= ∫ f (x)dx .	(П.11)
	dx			g( y)
			η		ξ

Линейные дифференциальные уравнения и уравнения сводящиеся к ним

	dy			x			x
		+ f (x) y = g(x);	y(x) = e−F η+ ∫g(x)eF dx			,	F(x) = ∫ f (x)dx .(П.12)
	dx
				ξ			ξ
Отметим, что уравнение Бернулли				y ' = f (x) y + g(x) yα = 0 подстановкой

u(x) = y1−α сводится к линейному уравнению, решение которого находится в квадратурах

u '+ (1−α) f (x)u + (1−α)g(x) = 0 .						(П.13а)
Отыскание решения системы линейных дифференциальных уравне-
ний с постоянными коэффициентами
y' = a	y +... + a	pn	y	n	( p =1,..., n),	(П.13б)
p	p1 1

и тесно связанных с этой системой дифференциальных уравнений n-го порядка

y(n) + a y(n−1)	+... + a y = F (x) ,	(П.13в)
1	n

с постоянными коэффициентами {ak} (k = 1,2,…,n) и правой частью F(x), выражаемой тригонометрическими, степенными и другими функциями сводится к следующим основным операциям.

1.Сведение дифференциальных уравнений к алгебраическим уравнениям с помощью замены переменной y = eλx .

2.Отыскание всех корней получившегося полинома

λn + a λn−1	+... + a	n	= 0	(П.14)
1

Приложение. Минимальные сведения по математике	228

для уравнения (П.13б) или нахождения корней характеристического уравнения для системы (П.13а). Общее решение для случая n различных корней записывается в виде

n
y(x) = ∑Ck eλk x .	(П.15)

k=1

Совокупность констант Сk, входящих в последнее уравнение находится из начальных условий.

3.Если правая часть уравнения не равна нулю и выражается в виде тригонометрических или степенных функций, то решение неоднородного уравнения ищется в виде этих же функций с неопределенными коэффициентами. Эти неизвестные коэффициенты находятся из тождественного условия сравнения левого и правого частей уравнения (П.13б).

Взаключение этого математического приложения приведем один общий способ интегрирования нормальной системы двух уравнений, правые части которых удовлетворяют условиям Коши-Римана. Пусть дана система

dx	= u(x, y),	dy	= v(x, y) ,	(П.16)
dt		dt

где x и y − искомые вещественные функции от вещественной переменной t. Предположим, что правые части этой системы имеют непрерывные частные производные и удовлетворяют условиям Коши-Римана

∂u	=	∂v	,	∂u	= −	∂v .	(П.17)
∂x		∂y		∂y		∂x

Введем в рассмотрение комплексную переменную z, положив z = x + iy, dzdt = dxdt + i dydt .

Тогда, умножая второе из уравнений системы (П.16) на комплексную единицу и складывая его с первым, получаем

dz	= u(x, y) + iv(x, y) ≡ f (z) .	(П.18)
dt

Из последнего уравнения получаем

Теоретическая физика. Механика (практический курс)			229
z
z∫	dz	= t + C ,	(П.19)
	f (z)
0

где t − вещественная переменная, а С = С1 + iC2 произвольная комплексная постоянная. Отделяя в последнем уравнении вещественную и мнимую части, получим выражения для x и у как функции от переменной t.

Пример. Рассмотрим систему

dxdt = mx + ny, dydt = −nx + my .

Нетрудно убедиться, что условия (П17) выполнены, и система сводится к одному уравнению

dzdt = bz, b = m −in .

Интегрируя это уравнение и отделяя вещественную и мнимую части, получим окончательно

x(t) = emt (C1 cos(nt) + C2 sin(nt)), y(t) = emt (C2 cos(nt) −C1 sin(nt)) .