Малые колебания механических систем	180

8.27.На линейный осциллятор с трением (собственная частота ω0, сила трения Fтр = −2λmx• ) действует вынуждающая сила F(t).

а) Найти при установившихся колебаниях условия резонанса и среднюю работу A силы F(t) = f1cosωt + f2cos2ωt.

б) Найти условия резонанса и среднюю за большой промежуток времени работу <A> силы F(t) = f1cosω1t + f2cosω2t при установившихся колебаниях.

f 2ω2

f 2ω2

λ

б) A =

1 1

+

2 2

m

(ω02

− ω12 )

2

+ 4λ2ω12

(ω02

− ω22 )

2

+ 4λ2ω22

8.28.а) Решить задачу о малых колебаниях для системы, описанной в за-

даче 7.36.

б) Найти частоту малых колебаний для этой же системы в случае ее вращения с постоянной угловой скоростью Ω вокруг вертикальной оси, проходящей через точку A.

8.29.Неоднородный диск радиуса R и массы m, центр инерции которого расположен на расстоянии a от его геометрического центра O, мо-

y

O

C ϕ

жет катиться без проскальзывания по горизонтальной направляющей. Момент инерции диска относительно оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр инерции, равен J. Найти малые колебания

x	вблизи положения устойчивого равновесия.
		&			mga
	ϕ = ϕ0 cos ωt +	ϕ0	sin ωt,	ω=
					m(R − a)2
		ω				+ J

Задачи повышенной трудности

8.30.Два шарика с массами m могут скользить по двум гладким горизонтальным прямым, образующим угол π/3. Шарики связаны между собой, а также с вершиной угла пружинами жесткости c. Пружины, закрепленные концами в вершине угла, в нерастяженном состоянии

Теоретическая физика. Механика (практический курс)	181

имеют длину l1, а пружина, соединяющая шарики – длину l2. Найти все точки равновесия и собственные частоты системы.

8.31.Система, состоящая из двух жестко связанных стержней Ox и Oy, образующих угол α = π/3, вращается с постоянной угловой скоро-

стью Ω вокруг вертикального стержня Oy. По каждому из стержней может двигаться без трения колечко массы m. Колечки притягиваются друг к другу с силой, пропорциональной расстоянию между ними (коэффициент пропорциональности a = 9mΩ2/5). Найти малые колебания системы в окрестности положения устойчивого равновесия.

	2		a	2		4a
ω1		=		, ω2	=
			4m
						3m

Ω

α

O

mm

x y

8.32.Обращенный математический маятник (см. рисунок) массы m и длины l может совершать колебания между преградами, образую-

щими с вертикалью Oz малый угол 2α. Считая удар о преграду аб-

солютно упругим, найти приближенное значе-											z
ние периода T колебаний маятника.
											ϕ
	l			α	g			&2	2
T = 4		arsh					,				α
	g			2	2			при ϕ0l > ϕ0 g
			ϕ0l − ϕ0 g
			&
	l			α	g
								&2	2
	g arsh			2		2	,
T = 2								при ϕ0l < ϕ0 g			O
			ϕ0 g − ϕ0l
					&

8.33.Найти частоту малых колебаний системы в задаче 8.7 для более сложных случаев:

а) a = b = l, m1 ≠ m2;

б) a ≠ b, m1 = m2 = m;

в) a ≠ b, m1 ≠ m2 (общий случай).

8.34.Определить нормальные частоты и координаты системы в задаче 8.23 для более сложных случаев:

а) m1 = m2 = m, c1 = с2 = 2с12 = 2с;

б) m1 = 3m2 = 3m, c1 = с2 = 2с12 = 2с;

в) m1 ≠ m2, c12 = с1 = с2 = 2с; г) m1 ≠ m2, c12 ≠ с1 ≠ с2 ≠ c12.

Малые колебания механических систем	182

8.35.Однородная горизонтальная прямоугольная тонкая пластинка со сторонами а и b опирается своими углами на четыре одинаковые пружины жесткости с. Предполагая, что масса пластины равна М, определить частоты ее свободных колебаний.

8.36.Найти собственные частоты колебаний системы маятников, изо-

браженной на рисунке. Массы всех шариков равны m,

длины всех

1

2 …

N

стержней – l, и все пружины имеют одну и ту же

жесткость, равную с. Допустить, что углы откло-

нений стержней от вертикали подчиняются гра-

ничному условию φ0 = φN + 1 = 0.

2

g

4c

2

πn

ωn = −

+

sin

, n =1,2,..., N

l

m

2(N +1)

8.37.

Найти закон дисперсии системы N частиц массой m, двигающихся

1

2 …

N

вдоль горизонтальной прямой и соединенных ме-

жду собой и с неподвижными стенками пружина-

ми жесткости c, предполагая,

что отклонения частиц от положений

равновесия подчиняются граничным условиям x0 = xN+1 = 0.

		c		πn
	ωn = 2		sin		, n =1,2,..., N
				2(N +1)
		m

8.38.Найти закон дисперсии: а) системы 2N частиц с массами m и M, со-

а)	m M …		m M
б)	1	2	2N
	c1	…	c2 c1
		c2

единенных пружинами жесткости с; б) системы 2N частиц с массами m, соединенных пружинами жесткости c1 и c2, как показано на рисунке.

2

c

4μ2

2 πn

mM

; n =1,2,..., N

= μ 1±

1− mM sin

2N +1

, μ = m + M

а) ω1,2

8.39.Два одинаковых маятника массы m и длины l соединены пружиной

					жесткости c (длина пружины в ненапряженном
			l		состоянии l0). К одному из них приложена сила
	l				F(t) = F0sinΩt, направленная по горизонтали. Ис-
		ϕ2		F(t) следовать зависимость амплитуд линейных коле-
ϕ1
				m	баний маятников Ai (i = 1,2) от частоты внешней

Теоретическая физика. Механика (практический курс)	183

силы Ω (рассмотреть также предельные случаи очень большой и очень малой частоты Ω по сравнению с другими характерными частотами задачи).

A1

2

2

=

ω1

− ω2

A2

(ω22 − ω12 − 2Ω2 )2 + 4Ω2ωпруж2

g

c

ω2

= ω2

+ 2ω2

; ω2

= ω2

=

; ω2

=

1

маят

пруж

2

маят

l

пруж

m

8.40.Решить задачу о малых колебаниях системы, описанной в задаче

7.37.

8.41.Собственная частота линейного осциллятора без затухания равна ω0. Найти частоту затухающих колебаний этого же осциллятора в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, если за n колебаний его амплитуда уменьшается в k раз.

		ln k			2
ω = ω0
	1	+
			2πn

8.42. Однородный диск радиуса R и массы m1 = m, центр которого соединен с неподвижными стенками двумя одинаковыми пружинами же-

сткости c каждая, может без проскальзыва-			c		m1 c
ния катиться по горизонтальной прямой. К
центру диска подвешен математический ма-
ятник длины l и массы m2 = m/2. Считая, что				ϕ	m2
cl = mg, найти малые колебания системы.
ω2	= 2g 3l , ω2	= 2g l
1	2

8.43.Три цилиндрические трубы с радиусами

R0 = 3r, R1 = 2r, R2 = r вложены одна в	O O1
другую, как показано на рисунке. Внеш-
няя труба радиуса R0 неподвижна, про-	O2
скальзывание меду трубами отсутствует, а	ϕ1
их массы равны соответственно m1 = 3m,	ϕ2

m2 = m. Найти малые колебания системы около положения устойчи-

Малые колебания механических систем	184

вого равновесия.

ω2	= g 3r , ω2	= g r
1	2

8.44.Параметры системы, описанной в задаче 8.18, удовлетворяют условиям M = m и 2mg = cl, а к ползуну приложена горизонтальная сила

Fx(t) = F0sinΩt.

а) Найти малые колебания системы б) Определить ненулевую частоту воздействия Ω и начальные зна-

чения х0, x• 0, ϕ0, ϕ• 0, при которых ползун во время движения будет

неподвижен. Найти закон изменения ϕ(t).

a) x = C1 sin (ω1t + φ1 )+ C2 sin (ω2t + φ2 )+ A(g −lΩ2 )sin Ωt

2C sin (ω t

+ φ )+

sin (ω t + φ

)− AlΩ2 sin Ωt

lϕ = −

2C

1

1

1

2

F0l

2

2

ω1,2 =

(2 ±

2 );

A =

; Ci ,φi − константы

m(

2g

2

−

4glΩ

2

2

Ω

4

)

+ l

8.45.Решить задачу о малых колебаниях механической системы, описанной в задаче 5.25 при следующих значениях параметров

а) m1 = m2 = m3 = m, c1 = с2 = с3 = с;

б) m1 = m3 = 2m2 = 2m, 2c1 = с2 = с3 = 2с;

в) Рассмотреть предельные случаи, когда одна из масс обращается в бесконечность, а другие массы равны между собой.

8.46.Определить влияние, оказываемое вращением Земли, на малые колебания маятника (так называемый маятник Фуко).

8.47.Определить период малых колебаний однородного полукруглого диска радиуса R, находящегося на негладкой горизон-

тальной плоскости, по которой он может катиться без скольжения.

		π
	T =		2g(9π −16)R
		2g