Динамика материальной точки |
24 |
|
|
Раздел 2. Динамика материальной точки
Минимальные теоретические сведения по динамике точки
Динамика − это раздел механики, в котором решается следующая за-
дача: по заданным силам, действующим на материальную точку (или систему материальных точек) и заданным начальным условиям, найти ее
(их) закон движения (т.е. зависимость координат точки или системы точек от времени). Эту задачу можно решать по-разному (см. разделы 3, 5, 6, 9, 10). В этом разделе мы будем рассматривать движение одной свободной материальной точки, т.е. полное число степеней свободы равно трем. Задача сводится к решению системы трех дифференциальных уравнений вида:
mwi = Fi(r, v, t) (i = 1,2,3). |
(2.1) |
В самом общем случае эта система записана для некоторой ортогональной криволинейной системы координат, когда радиус-вектор точки задается в виде функции r(q1,q2,q3) и для произвольной функциональной зависимости компонент вектора силы F от расстояния, скорости и времени. Так как единого аналитического метода, сводящего систему дифференциальных уравнений второго порядка к квадратурам (к интегралам от известных функций), в общем случае не существует, то обычно выделяют такие случаи, когда такое сведение возможно и решение в этих случаях может быть выражено в форме замкнутых интегралов от известных функций силы. Полезно напомнить простейшие случаи, когда решение получается "автоматически" в квадратурах.
а) Сила является только функцией времени. В этом случае ответ получается после двукратного интегрирования заданной функции F(t) по временной переменной.
б) Часто в ДСК компонента силы зависит лишь от той же самой компоненты скорости. Тогда структура уравнений (2.1) имеет вид
m x = F1 |
(x) , m y = F2 |
( y) , m z = F3 |
(z) |
(2.2) |
||
&& |
& |
&& |
& |
&& |
& |
|
Теоретическая физика. Механика (практический курс) |
25 |
|
|
Эта система уравнений разделяется и сводится к квадратурам с помощью замены переменной x& = p и преобразованием второй производной по времени от каждой координаты по правилу
d 2 x |
|
d |
& |
dp |
(2.3) |
dt2 |
= dt |
|
|||
(x) = p dx . |
|||||
Это преобразование позволяет понизить порядок дифференциального уравнения и получить решение в параметрической форме для каждой координаты в виде
v |
p |
|
|
x(v) = m ∫ |
|
dp |
|
F |
( p) |
||
v0 1 |
|
|
|
v |
|
||
, t(v) = m ∫ |
dp |
. |
(2.4) |
F ( p) |
|||
v0 1 |
|
||
в) Компонента силы в декартовой СК зависит только от одной соответствующей координаты. К этому пункту относится также случай одно-
мерного движения. При этом сила F(x) является потенциальной, можно определить потенциал U (x) = −∫F(x)dx и, используя закон сохранения
полной энергии E, свести задачу к интегрированию дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными вида
m dx 2 |
+U (x) = E = |
mv2 |
|
(2.5) |
|
0 +U (x ) . |
|||
|
2 |
0 |
|
|
2 dt |
|
|
|
|
Здесь x0 и v0 (начальные значения для координаты и скорости соответственно) полностью определяют значение постоянной E. Решение последнего уравнения в квадратурах обычно записывается в виде
dx |
|
2 |
|
x |
′ |
|
|
= ± |
[E −U (x)], t = |
m ∫ |
dx |
. |
(2.6) |
||
dt |
m |
|
|||||
|
|
2 x |
E −U (x′) |
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Точки остановки x(E), в которых скорость обращается в нуль, определяются из уравнения E = U(x). Отметим, что в формуле (2.6) учет знака скорости важен при инфинитном движении материальной точки. Для финитного движения в силу периодической смены знака скорости, его учет происходит "автоматически". В последнем случае материальная точка движется периодическим образом между двумя соответствующими точками остановки x1,2(E), а формула для периода финитного движения T имеет вид