Приложение. Минимальные сведения по математике	222

Приложение. Минимум сведений по математике, необходимых для решения задач

по теоретической механике

Векторы и математические действия над ними

Вектор – математический объект, характеризующийся величиной и направлением.

Если в n-мерном пространстве задана система координат (СК) (т.е. система n взаимно-перпендикулярных единичных (ортов) ej1), то задание вектора в этом пространстве эквивалентно выбору n чисел, отложенных по осям заданной СК. Математическая запись вектора в трехмерном евклидовом пространстве в базисе ортов ej (j ≡ x, y, z) выглядит так

А(Ax,Ay,Az) = Axex + Ayey + Azez ,

(П.1)

где Ax, Ay, Az – компоненты вектора A.

Длина (модуль или величина) вектора определяется выражением:

		A		= A = A2	+ A2	+ A2 .	(П.2)
				x	y	z
	B			Векторная		сумма	двух векторов А и В
				(A + B = C),		соответствующая геометриче-
А

ской сумме направленных отрезков определя-

Сется правилом параллелограмма или тре-

угольника (см. рисунок).

Произведение вектора А на скаляр s есть вектор, в |s| раз больший, чем исходный вектор А. Если s > 0, направление нового вектора совпадает с направлением А, если s < 0, новый вектор противоположен по направлению

1В пособии буквы, выделенные жирным шрифтом, обозначают векторы. Если в тексте встречается одна и та же буква, в одном случае выделенная жирным шрифтом, а в другом – курсивом, то в первом случае буква обозначает вектор, а во втором – его длину. Например, "A" читаем "вектор А"; "A" – "длина вектора А".

Теоретическая физика. Механика (практический курс)	223
вектору А.
Вычитание векторов А – В сводится к сложению вектора А и – В
А – В = А + (–В).	(П.3)

Выражения в прямоугольных декартовых координатах для суммы и разности двух векторов, а также для произведения вектора на число легко получается на основе выражения (П.1).

Скалярное произведение (А В) (в литературе можно встретить также обозначения (A, B), или (А В)) двух векторов А и В с углом γ между ними в результате дает скаляр, определяемый следующим образом

(А В) = АВсos(γ).

(П.4)

Два вектора взаимно ортогональны (перпендикулярны) друг другу тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Свойства скалярного произведения

(А В) = (В А), (А А) = А2 ≥ 0; |(А В)| ≤ АВ;

(А (В + С)) = (А В) + (А С); ((sА) В) = s(А В); cos(γ) = (А В)/(АВ);

Если С = А – В, то С2 = А2 + В2 – 2(А В) (теорема косинусов). Выражение скалярного произведения в прямоугольных декартовых координатах

ex2 = ey2 = ez2 =1;	(П.5a)
(ex ey) = (ex ez) = (ey ez) = 0;	(П.5б)
(А В) = АxВx + АyВy + АzВz;	(П.5в)
Аx = (А ex); Аy = (А ey); Аz = (А ez).	(П.5г)
Проекция вектора A на направление s
As = (As) / s .	(П.6а)

Угол между двумя векторами может быть выражен через их компоненты

cos(γ) =	(AB)	=		Ax Bx + Ay By + Az Bz		.	(П.6б)
	AB
			Ax2	+ Ay2 + Az2 Bx2 + By2	+ Bz2

Приложение. Минимальные сведения по математике	224

Векторное произведение [А В] (другие возможные обозначения [A×B], (А×В), А×В, [А, В]) двух векторов есть вектор, модуль которого равен

|[А В]| = АВ|sin(γ)|. (П.7а)

Величина этого вектора совпадает с площадью параллелограмма, построенного на векторах А и В. Его направление перпендикулярно к обоим векторам А и В и совпадает с направлением правого винта при его повороте от А к В на угол меньший π. Два вектора параллельны или антипараллельны друг другу тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю.

Свойства векторного произведения

[A В] = –[В А]; [А А] = 0; [(sА) В] = s[А В].	(П.7б)
[А (В+С)] = [А В] + [А С].	(П.7в)

Выражение векторного произведения в прямоугольных декартовых координатах

[ex ex] = [ey ey] = [ez ez] = 0; [ex ey] = ez; [ey ez] = ex; [ez ex] = ey;

[А В] = (АyВz – АzВy)ex + (АzВx – АxВz)ey + (АxВy – АyВx)ez =
	ex	ey	ez
=	Ax	Ay	Az		.	(П.7г)
	Bx	By	Bz
Смешанное (векторно-скалярное) произведение
(А [В С]) = (В [С А]) = (С [А В]) ≡ (АВС).						(П.8а)

Последнее равенство выражает собой сокращенное обозначение сме-

шанного произведения и отражает свойство циклической перестановки

векторов в смешанном произведении.
Произведения, содержащие более двух векторов
[А [В С]] = В(А С) – С(А В) (Правило “бац”–”цаб”),	(П.8б)
([А В] [С D]) = (A C)(B D) – (A D)(B C),	(П.8в)
([A B])2 = A2B2 – (A B)2,	(П.8г)

[[A B] [C D]] = (A [C D])B – (B [C D])A = (A [B D])C – (A [B C])D.(П.8д)

Теоретическая физика. Механика (практический курс)	225

Решение некоторых векторных уравнений

(Ниже предполагается, что (А [В С]) ≠ 0)

Система

Решение

(A X) = p

X = A

p

+[BA]

1

(П.9а)

[A X] = B

A2

A2

(A X) = p

X =

p

[BC] +

q

[CA] +

r

[A B] (П.9б)

(B X) = q

(A[BC])

(B[CA])

(C[AB])

(C X) = r

Дифференцирование векторов. Приведение матриц к диагональному виду

Опыт показывает, что затруднение вызывает дифференцирование векторных функций по скалярному аргументу. Поэтому ниже приводим основные правила дифференцирования таких функций.

d

v

(

t

)

± w

(

t

=

dv(t )

±

dw(t )

;

d

[

av(t)

]

= a dv(t)

(a = const)

dt

)

dt

dt

dt

dt

d

[f (t)v(t)]

= df (t) v(t) + f (t)

dv(t)

;

dt

dt

dt

d

(v(t) w(t))=

dv(t)

dw(t)

w(t) +

v(t)

;

dt

dt

dt

d

dv df (t)

d

dv(t)

dw(t)

v[ f (t)]=

;

[v(t) w(t)]=

w(t)

+

v(t)

;

dt

df dt

dt

dt

dt

d

(u(t)[v(t)w(t)])=

du

[v(t)w(t)] +

dv

[w(t)u(t)]

+

dw(t)

[u(t)v(t)] .

dt

dt

dt

dt

Примечание: При дифференцировании смешанного произведения порядок век- торов-сомножителей не изменяется!

Опираясь на эти правила можно получить выражение для первой производной от двойного векторного произведения.

Правила дифференцирования единичных ортов

(а) Если эти орты образуют прямоугольную декартовую СК или не меняют свое направление в пространстве с течением времени, то их производная по времени равна нулю.

(б) Если единичные орты могут менять свое направление в пространстве,