Кинематика материальной точки

18

x = v(t)cos[Φ(t)], y = v(t)sin[Φ(t)].

(1.28)

&

&

Осуществляя этот переход, получим уравнение для tg[Φ(t)]

d

(tg[Φ(t)])=

v(t)

.

dt

R(t)

После его интегрирования и перехода в ДСК имеем

tg[Φ(t)] = J (t) + tg Φ0 ,

где J (t) =

t

v(u)

du , tg Φ0 =

vy (0)

.

∫R(u)

v

x

(0)

0

Решения для x(t), y(t) легко получаются из соотношений (1.28) интегрированием. Последние интегралы решают поставленную задачу в самом общем виде.

Анализ решения. В соответствии с принципом "понять – означает обоб-

щить", глядя на полученные решения, полезно задать следующий вопрос: можно ли получить решение задачи, если отношение тангенциального ускорения к нормальному равно b (b − некоторое заданное положительное число)? Можно ли получить результат для случая b = b(t)?

Задачи

Обязательные задачи

1.1.Точка А находится на ободе колеса радиуса R, которое катится без проскальзывания по горизонтальному рельсу с постоянной угловой скоростью ω.

а) Определить закон движения точки обода колеса в декартовых координатах. Найти скорость и ускорение данной точки и показать, что ускорение всегда направлено к центру колеса.

б) Вычислить полный путь s, проходимый точкой А между двумя последовательными моментами ее касания рельса.

[а) x(t) = R(ωt − sin(ωt)), y(t) = R (1 − cos(ωt)), б) s = 8R]

1.2.Найти траекторию y(x), мгновенную и среднюю скорость, мгновенное и среднее ускорение материальной точки массы m, если ее де-

Теоретическая физика. Механика (практический курс)	19

картовые координаты меняются по закону:

а) x = a (1−λcos ωt), y = b(1−cos ωt), 0 < λ < 1; б) x = a (1−λcos ωt), y = b(1−sin ωt), 0 < λ < 1.

Для обоих случаев определить также модуль и направление силы и вычислить компоненту секторной скорости, перпендикулярную плоскости движения.

1.3.Изобразить графически траекторию и вычислить мгновенную скорость и ускорение материальной точки, если ее декартовые координаты меняются по закону:

а) x(t) = acos(ωt + ϕ0), y(t) = bsin(ωt + ϕ0).

	б)		1					1
		x(t) = 3a cos ωt +			cos3ωt	,	y(t) = 3a sin ωt −	3	sin3ωt .
			3

Последняя кривая называется астроидой. Определить в обоих случаях величину и направление силы, а также компоненту секторной скорости, перпендикулярную плоскости движения.

a) F = −mω2r
	(xy2 )1/ 3 , Fy = −3mω2 y +6mω2 (x2 y)1/ 3
б) Fx = −3mω2 x +6mω2

1.4.Изобразить графически траекторию (для случаев, указанных в скобках); вычислить мгновенную скорость и ускорение материальной точки, если ее полярные координаты меняются по закону:

а) ρ(t) = a cos(nϕ), ϕ = ωt (n = 2, 3, 4);

б) ρn (t) = an cos(nϕ), ϕ = ωt (n = 1/2, 1, 2) – синус-спираль. Послед-

няя кривая при n = 1/2 называется кардиоидой, при n = 2 она опре-

деляет лемнискату Бернулли.

Определить во всех случаях компоненты силы, а также компоненту секторной скорости, перпендикулярную плоскости движения.

a) Fρ = −mω2	(n2 +1)ρ, Fϕ = −2mω2 1−(ρ/ a)2
	2	2	(1− n)(ρ	1−2n	, Fϕ = ?
б) Fρ = −2mω ρ + aω				/ a)

1.5.Вычислить полные производные по времени от единичных ортов ЦСК и ССК, выразив их через линейную комбинацию самих ортов.

Кинематика материальной точки	20

1.6.Нарисовать примерный вид траектории и найти компоненты силы, действующей на материальную точку, если ее движение в сферической системе координат задается уравнениями:

а) r = R0, θ = ωt, ϕ = 2ωt (ω – постоянная величина);

б) r = R0 + V0t, θ = cos(ωt), ϕ = cos(2ωt).

1.7.Объяснить различие и кинематический смысл выражений: s• (s − длина пути, пройденного материальной точкой), r• , v• , r• , v• . Здесь A = |A| определяет величину соответствующего вектора. Записать соответствующие выражения в цилиндрической и сферической системах координат, а также в СК естественного трехгранника.

1.8.Материальная точка движется по окружности радиуса R, причем ϕ = ωt (ϕ − угол между радиус-вектором точки, проведенным из некоторой точки А окружности, и прямой, соединяющей точку А и центр окружности; ω – константа). Найти тангенциальную и нормальную составляющие скорости и ускорения точки.

1.9.Материальная точка движется по параболе y = kx2 так, что ее ускорение параллельно оси y, а его модуль постоянен и равен w. Определить нормальную и тангенциальную составляющие ускорения точки как функции времени.

1.10.Материальная точка движется в плоскости. Ее тангенциальные и нормальные ускорения равны постоянным величинам a и b. Найти уравнение траектории точки в полярных координатах.

Задачи средней трудности

1.11.Бусинка движется по некоторой кривой y = f(x) с постоянной скоростью v. Найти величину ускорения бусинки в зависимости от ее положения, если кривая:

а) y = px2 (парабола),

б) y = 1/(ax + b) (гипербола).

а) w = 2 pv2 /(1+ 4 p2 x2 )3/ 2

Теоретическая физика. Механика (практический курс)	21

1.12.Движение материальной точки в плоскости задано в полярных координатах: ρ = ρ(t) и ϕ = ϕ(t). Показать, что в случае постоянства секторной скорости σ = 12 ρ2ϕ& вектор ускорения точки коллинеарен

(параллелен) ее радиус-вектору, а его величина w определяется фор-

мулой Бине: w = wρ = −	4σ2			1		d 2			1
		2			+					.
	ρ			ρ		dϕ	2
									ρ

1.13.Пользуясь формулой Бине, определить силу F, действующую на точку, и изобразить примерный вид траектории, если уравнение траектории материальной точки массы m в полярной СК имеет вид:

а) ρ = p/(1 + εcos(γφ)), σ = 12 ρ2ϕ& = const , p, ε, γ − постоянные;

б) ρ = p/(φ – φ0), σ = 12 ρ2ϕ& = const , p, φ0 − постоянные.

2

γ

2

1

p

а) F = −

4mσ

−(1

− γ−2 )

p

2

3

ρ

ρ

2

ρ

−3

б) F = −4mσ

1.14.Материальная точка движется по окружности радиуса R, так что ускорение точки образует с ее скоростью постоянный угол α (α ≠ π/2). За какое время скорость точки увеличится в n раз, если в начальный момент t = 0 она равнялась v0? Найти закон движения точки.

	R tg α			1					v t ctg α
tn =		1	−		,	ϕ(t) = ϕ0	− tg αln 1	−	0
	v0			n					R

1.15.Материальная точка движется по некоторой траектории в плоскости xOy. Известна зависимость модуля скорости v и радиуса кривизны R в зависимости от величины пройденного пути s. Найти закон движения материальной точки x(t), y(t) для следующих случаев:

а) v(s) = as, R(s) = b/s.

б) v(s) = acos(bs), R(s) = b/s. в) v(s) = a/s, R(s) = bs.

г) v(s) = a/cos2(bs), R(s) = bs.

(a, b – некоторые положительные размерные постоянные).