Теоретическая физика. Механика (практический курс)	197

Скобки Пуассона. Основные положения

Пусть f и g – произвольные функции обобщенных координат, импуль-

сов и времени: f(q1,…,qn; p1,…,pn,t), g(q1,…,qn; p1,…,pn,t). Скобка Пуассона

определяется следующим образом:

	n	∂f ∂g					∂f ∂g
{f , g}=	∑
						−				.	(9.9)
	j=1		∂p j ∂q j				∂q j ∂p j

Основные свойства скобок Пуассона (здесь f(q,p,t), g(q,p,t), h(q,p,t) –

					функции, а αk – константы)
	(1)	{f, g} = −{g, f}		(4) {∏ fk, g} = ∑ fl{∏ fk, g}
	(a) {f, f} = 0					k	l k≠l
				(a) {f1f2, g} = f1{f2, g} + f2{f1, g}
	(2)	{f, α} = {α, g} = 0
					∂	{f, g} = {∂f, g} + {f,		∂g}
		{∑αkfk, g} = ∑αk{fk, g}		(5)
	(3)				∂t
							∂t	∂t
		k	k	(6) {f, {g, h}} + {h, {f, g}} + {g, {h, f}} = 0
	(a) {αf, g} = α{f, g}

(тождество Якоби)

(b) {f1 + f2, g} = {f1, g} + {f2, g}

Очень просто вычисляются элементарные, или фундаментальные, скобки Пуассона:

{qj, qk} = 0, {pj, pk} = 0, {pj, qk} = δjk.

(9.10)

Зачем нужны скобки Пуассона?

a. С их помощью можно единообразным способом записать уравнения Гамильтона (9.2)

•	•	(9.11)
qj = {H, qj},	pj = {H, pj}.

б. Для произвольной функции f(q,p,t) уравнения движения (полная производная по времени) имеют похожий вид

df(q,p,t)	=	∂f	+ {H, f}.	(9.12)
dt		∂t

Так, например, подставив вместо f(q,p,t) гамильтониан H(q,p,t) и воспользовавшись следствием a первого свойства скобок Пуассона, мы мгновенно

Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона	198

получаем соотношение (9.8).

в. Если f и g – интегралы движения, то их скобка Пуассона, {f, g}, – также интеграл движения (теорема Пуассона). В ряде случае это помогает находить дополнительные интегралы движения и упрощает решение задач.

г. Наконец, скобка Пуассона является классическим аналогом коммутатора, играющего важную роль в квантовой механике.

Примеры решения задач

Задача 4. Вычислить скобки Пуассона:
n	+ q3j		n	+ q2j
(а) {x, My}; (б) {ϕ, ψ}, где ϕ = cos ∑(p2j		)	,ψ = sin ∑(p3j		) .
j=1			j=1

Решение. Можно сразу вычислить скобку Пуассона, "в лоб", исходя из определения (9.9), а можно найти скобку Пуассона, используя свойства этих скобок и постепенно сводя искомую скобку к более простым и даже известным. На примере (а) покажем оба варианта.

(а) В задаче предполагается 3 степени свободы: обобщенные координаты совпадают с обычными декартовыми (q1 = x1 = x, q2 = x2 = y, q3 = x3 = z), обобщенные импульсы (p1 = px, p2 = py, p3 = pz) – с компонентами обычного импульса. Компонента момента импульса My = [r p]y = M2 = zpx − xpz = = x3p1 − x1p3.

I способ – вычисление "в лоб":

{

y }

3 ∂x ∂M ∂x ∂M

3 ∂x ∂M

1

2

∑

∑

x, M

={x

, M

}=

1

2 −

1

2 =

−

1

2

=

∂x j

∂x j

∂M

j=1 ∂p j

∂x j

∂p j

j=1

∂p j

3

∂M

∂

= −∑δ1 j

∂p

2 = −

∂p 2 = −

(x3 p1 − x1 p3 )= −x3 = −z

∂p

j=1

j

1

1

II способ – использование свойств, сведение к известным скобкам.

(3)

(4a)

{x, M y }={x1, M 2}={x1, x3 p1 − x1 p3}=

{x1, x3 p1}−{x1, x1 p3} =

= x3 {x1, p1}+ p1{x1, x3}− x1 {x1, p3}− p3 {x1, x1}= −x3 = −z

=−1

=0

=0

=0

В данном случае мы свели все к фундаментальным скобкам (9.10), их значения написаны под скобками. Над знаками равенства приведены номера

Теоретическая физика. Механика (практический курс)	199

свойств, которые были применены при вычислениях. Теперь можно при решении других задач использовать полученный результат и считать {x, My} – "известной" скобкой Пуассона1.

(б) В этой задаче главное не ошибиться при вычислении частных производных от сложных функций ϕ(q,p) и ψ(q,p)

	∂ϕ	n			n	n
		= −sin ∑(p2j	+ q3j	)	∑2 p jδjk = − 2 pk sin ∑(p2j		+ q3j	)	;
	∂pk
		j=1			j=1	j=1

∂ϕ

n

= −3qk2 sin ∑(p2j

+ q3j

)

;

∂qk

j=1

∂ψ

n

∂ψ

n

∂p

= 3pk2 cos ∑(p3j

+ q2j

)

; ∂q

= 2qk cos

∑(p3j

+ q2j

) .

k

j=1

k

j=1

Подставим их в определение (9.9), в котором поменяем индекс суммирования (j → k)

n

∂ϕ ∂ψ

∂ϕ ∂ψ

9

2 2

n

2

3

{ϕ,ψ}= ∑

−

=

pk qk

− 2 pk qk sin 2∑(p j

+ q j ) .

∂pk ∂qk

2

k=1

∂qk ∂pk

j=1

Задача 5. Показать, что, если функция Гамильтона зависит от переменных q1 и p1 лишь опосредовано через функцию f(q1, p1), т.е.

H = H(f(q1, p1), q2, p2,…, qn, pn), то f(q1, p1) – интеграл движения.

Решение. Другими словами нужно показать, что f(q1,p1) не изменяется во времени, т.е. является константой. С помощью скобок Пуассона решение укладывается в одну строчку. Воспользуемся определением

df

={H , f } =

∂H ∂f

∂f

−

∂H ∂f

∂f

+

n

∂H

∂f

−

∂H ∂f

= 0 ,

dt

∂f ∂p

∂q

∂f ∂q

∂p

∂p

∂q

∂q

∂p

∑

j

j

j

1

1

1

1

j=2

j

тогда первых два члена, где вычислены производные от сложной функции H = H(f,q2,p2,…,qn,pn), отличаются только знаками, а в последней сумме производные от f тождественно равны 0. Отсюда следует, что

1 Из соображений симметрии, кстати, сразу следует, что {y, Mz} = −x, {z, Mx} = −y.