Теоретическая физика. Механика (практический курс)	149

Задачи

Обязательные задачи

7.1.Однородный стержень АВ веса Р и длины 2l подвешен в точке С на двух тросах АС и СВ одинаковой длины, равной а. Определить натяжение тросов.

	2	−l	2	) / a	2
T = P / 2 (a

7.2.Однородная балка АВ, расположенная в вертикальной плоскости, прикреплена верхним концом при помощи шарнира В к вертикальной стене, а нижним концом A опирается на гладкий

пол. Даны вес балки Р, ее длина 2а и угол наклона α. Найти реакцию пола и полную реакцию шарнира.

[ RA = P / 2, RB = P / 2 и направлена вверх]

7.3.Шар весом Р привязан нитью к неподвижной точке В, а в точке А опирается на гладкую наклонную плоскость. Определить величину реакции в точке А и натяжение нити, если углы α и β известны.

T =	P cosα	, R =	Psinβ
	cos(α −β)
			cos(α −β)

7.4.Уличный фонарь весом P подвешен к столбу с горизонтальной поперечиной АС = a и подкосом ВС = b. Найти реакции SA и SB в стержнях АС и ВС, считая крепления в точках A, В и С шарнирными.

	l	2	− a	2	,	SB = abP / l	2	− a	2
SA = aP /

7.5.Два одинаковых гладких цилиндра веса Р каждый подвешены в неподвижной точке О на двух одинаковых нитях и поддерживают третий цилиндр веса Q. Вся система находится в равновесии. Найти за-

висимость между углами α и β.

[tgβ =[(2P / Q) +1]tg α]

Условия равновесия системы	150

7.6. Втулка А веса Р соединена с втулкой В веса Q гибкой нерастяжимой нитью АВ = l. Определить угол β при равновесии системы, если известен постоянный угол α между стержнями АС и ВС, расположенными в вертикальной плоскости.

[tgβ =[(P + Q) / Q]ctg α]

7.7.У стены здания положены три одинаковых трубы, как указано на рисунке. Какую горизонтальную силу F надо приложить к правой нижней трубе, чтобы удержать трубы в равновесии. Сила F должна пересекать ось трубы. Радиус сечения труб равен r, вес каждой трубы Р, линии, соединяющие центры сечений образуют

равнобедренный треугольник с углом α при основании.

[ F=(P/2)ctgα ]

7.8.На двух одинаковых круглых однородных цилиндрах радиусом r и весом Р каждый, лежащих на горизонтальной плоскости и связанных за центры нерастяжимой нитью, покоится третий однородный цилиндр радиуса R и веса Q. Определить натяжение нити Т, давление цилиндров на плоскость Рn и взаимное давление

цилиндров Рb.

T =	Q r	, P	= P + Q , P		=	Q(R + r)
	2 R2 + 2rR	n	2	b
						2 R2 + 2rR

7.9.Однородный стержень АВ, длиной 2l упирается нижним концом А

ввертикальную гладкую стену, составляя с ней угол ϕ . Стержень опирается также на гвоздь С, параллельный стене. Гвоздь отстоит от стены на расстоянии а. Опреде-

лить угол ϕ в положении равновесия стержня.

sin ϕ = 3 a / l

7.10.Два расположенных в вертикальной плоскости однородных стержня опираются нижними концами на гладкую горизонтальную плоскость и друг на друга,

Теоретическая физика. Механика (практический курс)	151

а верхними концами − на две вертикальные гладкие стены. Длины стержней 2а1 и 2а2, веса их Р1 и Р2. Найти зависимость между углами α1 и α2 наклона стержней к горизонту при равновесии системы.

[tgα1/tgα2 = P1/P2 ]

7.11.Определить силу, необходимую для поднятия груза веса Р посредством системы трех одинаковых невесомых блоков, изображенной на рисунке.

[ F = P/4 ]

7.12.Лестница АВ нижним своим концом опирается на горизонтальный гладкий пол, а на верхнем своем конце снабжена двумя крючками, накинутыми на металлический стержень, протянутый вдоль стены, параллельно полу. Найти реакцию стержня и реакцию пола, если вес лестницы равен Р, длина

ее равна l, и на лестнице стоит человек на расстоянии а от верхнего конца. Вес человека равен Q.

[ RA = P/2 + aQ/l, RB = P/2 + (l − a)Q/l ]

7.13.Квадратная доска АВСD весом Р подвешена на веревке ВЕ. Вершиной А она опирается на неподвижную гладкую вертикальную стену ЕА. Определить реакцию стены в точке А, натяжение Т веревки и угол ϕ, если АВ = ВЕ = а.

[ RA = P/3, T = P 10 / 3, tg ϕ =1/ 3 ]

7.14.Два одинаковых однородных шара радиуса r, каждый из которых имеет вес Р, положены внутрь полого, открытого с обоих концов прямого цилиндра радиуса R, стоящего на горизонтальном шероховатом столе. Определить наименьший вес Q цилиндра,

при котором шары не в состоянии опрокинуть его. Толщиной стенок цилиндра пренебречь.

[ Q = 2P(1−r/R) ]

7.15.Однородный стержень АВ длиной 2l и весом Р находится в равновесии в вертикальной плоскости, опираясь концами на две наклонные гладкие плоскости, образующие между собой прямой угол.

Условия равновесия системы	152

Найти угол ϕ стержня с горизонтом, если известно, что нижняя из плоскостей образует с горизонтальной плоскостью угол α.

[ϕ = π/ 2 − 2α]

Задачи средней трудности

7.16. Кран состоит из однородного стержня АС весом Р, вращающегося на шарнире А и привязанного к закрепленной точке В цепью ВС. К концу С стержня подвешен груз D весом Q. Определить натяжение цепи Т и реакцию шарнира A, если известны угол α и длина стержня АС = а.

7.17. Два одинаковых стержня АС и ВD весом Р каждый, вращающихся на шарнирах А и В, соединены шарнирами С и D с третьим горизонтальным стержнем CD, весом Q. Вся система находится в равновесии в вертикальной плоскости.

Определить реакции шарниров А и С, если угол α известен.

7.18. На шар веса Q, опирающийся на вертикальную стенку и наклонную балку ОА, действует сила F. Однородная балка ОА веса Р закреплена в точке О шарнирно и удерживается в наклонном положении при помощи вертикального троса АB. Определить, пренебрегая трением, давление шара на балку и стену, реакцию шарнира и натяжение троса, если известны углы α и β, длина балки ОА = l и радиус шара r = l/4.

7.19.Однородный стержень АВ весом Р нижним своим концом А при-

креплен к полу при помощи шарнира, а верхним концом опирается на гладкую наклонную стену, образующую угол β с горизонтом. Найти реакцию шарнира и реакцию стены, если известно, что

стержень образует с полом угол α.

7.20.Однородный стержень длиной 2l и весом Р прикреплен шарниром В к вертикальной стене, а в точке А опирается на ребро другой стены.

Теоретическая физика. Механика (практический курс)	153

Найти реакции в точках А и В, а также угол α при равновесии стержня, если известно, что точка А отстоит от первой стены на расстоянии а и находится на высоте, равной b над шарниром В.

7.21. На гладкий цилиндр радиуса r опираются два одинаковых весомых стержня, соединенных шарниром А. Длина каждого стержня равна 2l. Определить угол θ раствора стержней, соответствующий положению равновесия.

[ ltg3θ − r tg2θ − r = 0 ]

7.22.Полиспаст состоит из неподвижного блока А и трех подвижных блоков. Определить в случае равновесия отношение поднимаемого груза Q к усилию Р, прилагаемому к концу каната, сходящего с неподвижного блока А. Решить эту задачу в случае п подвижных блоков.

[ Q/P = 2п ]

7.23.Однородный стержень АВ нижним своим концом А прикреплен к полу при помощи шарнира и удерживается под углом α к горизонту при помощи привязанной к верхнему его концу В веревки, которая прикреплена другим своим концом к вертикальной стене и образует угол β с горизонтом. Найти натяжение Т веревки и реакцию шарнира, если вес стержня равен Р.

7.24.На горизонтальный стол ставится абсолютно гладкий внутри цилиндр диаметра а и веса Р. В него опускают однородную палочку длиной 2l и

весом Q, которая занимает некоторое положение равновесия под углом ϕ к горизонту. Найти наименьший вес палочки Q, которая в состоянии опрокинуть цилиндр, угол ϕ палочки с горизонтом и ре-

Условия равновесия системы	154

акции в точках А и В в начальный момент опрокидывания. Толщиной стенок цилиндра пренебречь.

7.25. Одинаковые гладкие пластины длины l укладываются одна на другую, как показано на рисунке. Найти такую длину "пролета" L (как функцию от числа пластин n), чтобы система оставалась в положении равновесия.

		n	1
L =	1 l∑					1 l ln n
	2	k=2 k −1				2

7.26. Куб массы m прислонен к стене в наклонном положении. Коэффициент трения между вертикальной стеной и ребром куба равен f1, а между кубом и горизонтальным полом – f2. Найти условие равновесия куба.

	1− f1 f2
tg α =
	1+ 2 f	2	+ f f
			1	2

7.27.Однородная прямоугольная крышка веса Р наклонена под углом α к вертикальной плоскости yOz и удерживается в таком положении при помощи сферического шарнира О, цилиндрического шарнира А и нити СD, расположенной в горизонтальной плоскости. Определить реакции шарниров и натяжение нити, если ОА = СВ = а, ОС = АВ = а/2.

7.28.Материальная точка находится в поле тяжести на внутренней стороне гладкой поверхности, определяемой уравнением:

а) z = 4x2 + 2xy + y2, б) z = x2 − xy + y2, в) z = x2 + xy − y2,

г) z = 4x2 − 2xy + 2y2, д) z = 2xy. Найти положения равновесия материальной точки для каждого случая и исследовать их устойчивость (ось Oz направлена вертикально вверх).

7.29.Стержень АВ, образующий угол α с вертикалью, вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси О1О2. По стержню может двигаться без трения тяжелое колечко S массы m, соединенное с не-