Уравнения Лагранжа	96

5.18.Материальная точка массы m движется по круговой рамке радиуса R, которая вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикального диаметра AB. Составить уравнения движения точки.

5.19.Центробежный регулятор состоит из 4-ех одинаковых невесомых стержней, длиной l каждый, двух шаров

массы m и муфты A массой M, которая может скользить без трения по вертикальной оси Оz. Предполагая, что соединения стержней шарнирные, точка О неподвижна и вся система может сжиматься или разжиматься по вертикали и вращаться без трения вокруг оси Оz, составить функцию Лагранжа системы.

Задачи средней трудности

5.20.Составить уравнение движения математического маятника длины l

имассы m, точка подвеса которого совершает гармоническое движение по закону a sin ωt с амплитудой a и

постоянной частотой ω в вертикальной плоскости вдоль прямой, наклоненной под углом α к горизонту.

	&&	a	ω	2	sin ωt cos(ϕ − α) +	g	sin ϕ = 0
ϕ −		l				l

5.21.Материальная точка массы m скользит без трения по гладкой проволоке, изогнутой в виде некоторой четной функции f(x). Проволока, в свою очередь, может вращаться с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси Оy, совпадающей с осью симметрии функции f(x). Найти функцию Лагранжа такой системы и выражение для силы реакции R, действующей со стороны проволоки на материальную точку, для случаев:

а) f(x) – окружность, б) f(x) – парабола, в) f(x) – прямая.

	m	[1+ f	′2	&2	+	1	2 2
L =	2			(ρ)]ρ		2	mρ ω − mgf (ρ)

Теоретическая физика. Механика (практический курс)	97

5.22.Невесомый стержень AB длины 2l, на концах которого закреплены шарики с массами m, может свободно вращаться в вертикальной плоскости, перпендикулярной оси ОS. Ось ОS

может свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости xOy (модель флюгера). Составить функцию Лагранжа системы и найти интегралы движения, предполагая, что OS = а.

5.23.Составить функцию Лагранжа для системы двух шаров, связанных между собой нерастяжимой нитью длины l. Шар с массой m1 движется в вертикальном направлении, шар с массой m2 может двигаться без трения по поверхности конуса с углом раствора 2 α . Найти циклические координаты системы и качественно исследовать ее движение.

	1	&2		m2	2	&2		2
L =			+		(l − z)		sin		α + gz(m1	− m2 cosα)
	2	(m1 + m2 )z		2		ϕ

5.24.Частица массой m1, двигающаяся по поверхности гладкой сферы радиуса R, и частица массой m2, двигающаяся вертикально, связаны невесомой нерастяжимой нитью, пропущенной через малое отверстие в

наивысшей точке сферы, как показано на рисунке. Составить уравнения Лагранжа системы и найти интегралы движения.

5.25.Составить уравнения движения системы, схема которой показана на рисунке.

Плоскость, по которой вдоль одного направления движутся грузы M1, M2 и M3, абсолютно гладкая. Массы грузов соответственно равны m1, m2 и m3, а жесткости пружин с1, с2 и с3.

5.26.Материальная точка массы m движется под действием силы тяжести (Р = mg) по прямой АВ, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижной вертикальной оси; прямая АВ образует угол α с горизонталью. Найти закон движения точки, если ее на-

Уравнения Лагранжа	98

чальная скорость была равна нулю, а начальное расстояние r0 до оси по прямой АВ было равно а. Вычислить силу реакции, действующую со стороны стержня AB на частицу.

g sin α

g sin α

r(t) = (a −

)ch(ωt cosα) +

ω

2

cos

2

α

ω

2

cos

2

α

5.27.Найти функцию Лагранжа и составить уравнение движения заряженной частицы в поле магнитного диполя с моментом μ.

	&&	=	e	[vH], H = rot	[μr]
						3
mr			c		r

Задачи повышенной трудности

5.28.Шайба без начальной скорости скатывается с вершины полусферы радиуса R. Движение шайбы считать одномерным. Определить угол отрыва от полусферы. Найти закон ее движения (в последнем случае считать начальный угол θ0 не нулевым, хотя и достаточно малым, и оп-

ределить соответствующую начальную скорость θ• 0).

	θотрыва = arcos(2/ 3)
			/ 4)], k = g R, где θ
θ(t) = 4arctg[exp(kt) tg(θ		0		0	< θ < arccos(2/ 3).

5.29.Однородная цепочка длины l и массы m перекинута через горизон-

тальное ребро прямоугольной призмы и может скользить без трения в вертикальной плоскости по наклонным сторонам ее, которые составляют углы α и β с горизонтом. Найти закон движения цепочки,

предполагая, что в начальный момент она покоилась, и с левой стороны свешивался конец длины, равный х0.

			l sinβ			(sin α + sinβ)			l sinβ
x(t) = x0		−		ch t		l	g	+
			sin α +sinβ						sin α + sinβ

5.30.Частица с зарядом e и массой m движется в электромагнитном поле. Напряженности E и H электрического и магнитного полей могут быть выражены через скалярный U (x, y, z,t) и векторный A(x,y,z,t)

потенциал при помощи соотношений E = −gradU − 1c ∂∂At , H = rot A ,

Теоретическая физика. Механика (практический курс)	99

где c − скорость света. Показать, что уравнения движения частицы m&&r = eE + ce [v H] , где v − ее скорость, представляют собой уравне-

ния Лагранжа, в которых в качестве функции Лагранжа следует ис-

пользовать выражение L = 12 mv2 −eU + ce (Av) .

5.31.Показать, что если в качестве активных сил, действующих на систему N заряженных частиц во внешнем электромагнитном поле, рассматривать силы Лоренца, то обобщенные силы Qj, соответствующие обобщенным координатам qj, являются обобщенно-потенциальными силами с обобщеннымпотенциалом, имеющим вид

N		1	(A(ri ,t) vi )
U = ∑ei U (ri ,t) −				,
i=1		c

где c – скорость света, ei – заряды частиц, ri и vi – их радиусвекторы и скорости, а U и A – скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля соответственно.

5.32. Частица массы m и заряда e движется в аксиально-симметричном неоднородном магнитном поле вида H(ρ) = H0Ф(/a)ez . Составить функцию Лагранжа и найти закон движения частицы в квадратурах для случаев:

а) Ф(ρ/a) = ρ/a, б) Ф(ρ/a) = a/ρ, в) Ф(ρ/a) = asin(ρ/a)/ρ.

		2	+ eρϕ A (ρ/ a),		A (ρ/ a) = H0a		2	ρ/ a
L = mv									ξФ(ξ)dξ
				&				∫
	2		c	ϕ	ϕ	ρ
								ρ0 / a