Кинематика материальной точки	14

ние. Кроме того, необходимо хорошо представлять себе связи между различными скоростями (мгновенной, средней, секторной и т.д.) и ускорениями, которые помогают выразить условия исходной обратной задачи в форме дифференциального уравнения.

Для успешного решения задач по кинематике необходимо хорошо знать стандартные решения простейших дифференциальных уравнений первого и второго порядка, а также уметь преобразовывать их к новым переменным, для того чтобы "увидеть" их стандартную форму.

Примеры решения задач по кинематике

Задача 1. Частица движется в положительном направлении оси Оx так, что ее скорость меняется по закону v = αx, где α − размерная постоянная. Принимая во внимание начальные условия (t = 0, x = x0), найти:

а) зависимость от времени мгновенной скорости и ускорения частицы; б) среднюю величину скорости частицы за время, в течение которого она пройдет первые s метров пути.

Решение.

1. Предварительный анализ задачи. Задача может быть классифицирована как обратная задача механики и для своего решения требует составления простейших дифференциальных уравнений. Помимо нахождения искомого уравнения для получения его частного решения необходимо знание начальных условий (величину пройденного пути x0 к начальному моменту времени t = 0).

2. Составление необходимых уравнений. Из условия задачи можно опреде-

лить следующую связь между мгновенной скоростью и пройденным расстоянием к моменту времени t

v = dx	= αx .	(1.25)
dt

Последнее уравнение представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Его частное решение может быть записано в виде

x(t) = x0 exp(αt) .

Теоретическая физика. Механика (практический курс)	15

Из последнего уравнения дифференцированием нетрудно получить искомые равенства для ответов на первый пункт (а)

v(t) = αx exp(αt),	w(t) = α2 x exp(αt) .
0	0

Для ответа на вопрос (б) необходимо вначале установить связь между s и временем t(s). Она находится интегрированием уравнения (1.25)

	1 x0 +s dx 1				x0 + s
t(s) =		∫ x	=		ln		.
	α			α		x
		x0				0

Затем необходимо воспользоваться выражением для средней величины скорости, которое применительно к данному случаю, запишется в виде

		1 ts			s				αs
v	s =			∫v(t)dt =			=			.
		t	s		t	s		ln((x	+ s)/ x )
				0			0		0

Последняя формула содержит окончательное решение поставленной задачи. 3. Анализ решения. Чтобы выработать навык, помогающий разобраться не только в простейших задачах, но и понимать структуру более сложных задач, можно придерживаться следующего принципа: "понять − означает обобщить". В соответствии с этим принципом, глядя на полученные решения можно задать следующий вопрос: как изменятся результаты решения этой простой задачи, если выбрать зависимость между скоростью и пройденным расстоянием в виде v = αx p . Попытайтесь воспроизвести эти расчеты самостоятельно. Для проверки приведем ответы для этого случая

x(t) = x

1+bt 1/(1−p)

, где b = α(1

− p)x p−1,

v(t) =

x0b

1+bt

]

p /(1−p) ,

0

[

]

0

(1− p)

[

x0b

2

p

1

s

1−p

s

w(t) =

1

+bt

(1−2 p) /(1−p)

,

t(s) =

−1

,

v

=

.

(1− p)2

]

b

t(s)

[

x

s

0

Для детальной проверки математических расчетов найдите опечатку в выражении w(t), умышленно сделанную в ответе.

Задача 2. Бакенщик спускается с вершины маяка, двигаясь по желобу, имеющему форму винтовой линии. Параметры винтовой линии, шаг h и диаметр D постоянны.

а) Найти годограф скорости бакенщика и определить величину и направ-

Кинематика материальной точки	16

ление ускорения, в предположении, что величина его скорости постоянна по времени.

б) Найти годограф скорости бакенщика и определить величину и направление ускорения для случая, когда величина его вертикальной компоненты скорости пропорциональна времени.

Решение.

1. Анализ задачи. Согласно классификации данная задача может быть отнесена к прямой задаче механики. Траектория бакенщика – винтовая линия, которая в ЦСКзадаетсяуравнениями: ρ = R (радиус маяка), ϕ = ωt, z = − ct.

Свяжем параметры винтовой линии с данными задачи: R = D/2, h = c(2π/ω). Согласно определению, годограф скорости – это геометрическое место точек концов радиус-вектора мгновенной скорости. Поэтому "найти годограф" означает определить мгновенный вектор скорости v(t) по вектору r(t).

2. Восстановление необходимых связей. Восстановим формулы, связы-

вающие компоненты векторов скорости и ускорения в цилиндрической системе координат,

&

&

&

2

&

2

+ ρ

2 & 2

&2

.

r(t) = ρ(t)eρ + z(t)ez, vρ = ρ, vϕ = ρϕ, vz = z , v

= ρ

ϕ

+ z

&&

&

2

, wϕ =

&& & &

1 d

(ρ

2

&

&&

ρ dt

wρ = ρ − ρϕ

ρϕ+ 2ρϕ =

ϕ), wz =

z .

Последние формулы полностью решают поставленную задачу. Беря соответствующие производные, получим искомый ответ:

vρ = 0, vϕ = Rω, vz = −c; wρ = −Rω2, wϕ = 0, wz = 0; v = [(Rω)2 + c2]1/2.

Пункт (б) решается аналогично. Воспроизведите соответствующие расчеты самостоятельно. При этом необходимо учесть, что z& = vz = −bt .

Задача 3. Точка движется, замедляясь по некоторой плоской траектории, таким образом, что в каждый момент времени ее тангенциальные и нормальные ускорения по модулю равны друг другу. В начальный момент времени t = 0 скорость точки равна v0. Найти траекторию материальной точки. Предполагается, что зависимость радиуса кривизны траектории от времени известна и задается некоторой функцией R(t).

Теоретическая физика. Механика (практический курс)	17

Решение.

1. Предварительный анализ задачи. Задача может быть отнесена к обратной задаче механики и для своего решения требует решения простейших дифференциальных уравнений. Помимо составления уравнения для получения частного решения необходимо знание начальных условий (величин скорости или пройденного пути к начальному моменту времени t = 0). Слово "замедляясь", приведенное в условии задачи, означает, что с увеличением времени скорость уменьшается, т.е. движение происходит с отрицательным ускорением. Для составления соответствующих дифференциальных уравнений удобнее всего использовать сопровождающую систему координат. В этой системе скорость и ускорение задаются следующим обра-

зом (1.19) – (1.21):

&	v2	(1.26)
v(t) = v(t)τ, w(t) = v(t)τ +	R n

Полезные соотношения, связывающие радиус кривизны траектории с длиной дуги и скоростью изменения угла, определяются выражением (1.22). 2. Решение задачи. Используя условие задачи и уравнения (1.26), получим следующее дифференциальное уравнение c разделяющимися переменными

dv = − v2 , dt R(t)

решение которого имеет вид

v(t) = tv0 . 1+ v0 ∫dt / R(t)

0

Если воспользоваться теперь выражением (1.22) для радиуса кривизны R и перейти к декартовым координатам, то можно написать систему уравнений для отыскания уравнения плоской кривой в декартовой СК

&2		&	2				2
	x	+ y			= v (t),
d				y				v(t)
	arctg			&			=		.
			&					R(t)
dt				x

Для решения системы (1.27) можно перейти к новым переменным

(1.27а)

(1.27б)