Теоретическая физика. Механика (практический курс)	185

Раздел 9. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона.

Уравнения Гамильтона. Основные положения и формулы

Для механической системы с n степенями свободы существуют уравнения Лагранжа (5.15): n дифференциальных уравнений второго порядка,

•• •

содержащие qj, qj и qj. Свойства механической системы заложены в функции Лагранжа L(q,q• ,t) = T − U, зависящей от n независимых переменных:

обобщенных координат q(q1,q2,…,qn), а обобщенный импульс pj определя-

ется соотношением

pj =	∂L• .	(9.1)
	∂qj

Гамильтонов формализм классической механики1 связан с введением 2n независимых обобщенных переменных: к обобщенным координатам добавлено n обобщенных импульсов p(p1,p2,…,pn). Свойства механической системы заложены в функции Гамильтона2 H(q,p,t) – обобщенной энергии системы. Движение механической системы в отсутствие диссипативных сил можно определить, решив соответствующие уравнения Гамильтона: систему 2n дифференциальных уравнений первого порядка

	&		∂H
p j = −			∂q j
					(j = 1,2,…,n).	(9.2)
		∂H
	&
q j =		∂p j

1 Для аналитического решения в случае простых систем лагранжев подход часто оказывается более удобным. Однако в более сложных случаях – при переходе к квантовой механике, в статистической механике, при численном решении уравнений и т.д. – предпочтителен гамильтонов формализм.

2 Часто функцию Гамильтона, особенно в квантовой механике, называют гамильтонианом.

Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона	186

Окончательно, с учетом 2n начальных условий (q0,p0) можно записать закон движения данной системы как qj = qj(q0,p0,t) и pj = pj(q0,p0,t), где j = 1,2,…,n. Уравнения Гамильтона в записи (9.2) иногда называют кано-

ническими уравнениями движения.

Таким образом, для решения уравнений движения в гамильтоновом формализме (9.2) необходимо определить процедуру нахождения функции Гамильтона для любой механической системы.

Покажем, как можно найти функцию Гамильтона, зная функцию Лагранжа. Проще всего воспользоваться определением обобщенной энергии системы H (см. также замечание к задаче 5 на странице 91)

n
&	&	&	&
H (q1,q2 ,...,qn ; p1, p2 ,..., pn ,t) = ∑p jq j − L(q1,q2	,...,qn ;q1	,q2	,...,qn ,t) . (9.3)
j=1

Справа в этом выражении присутствуют как "нужные" переменные q,p,t, так и "лишние" переменные q• j. Чтобы найти, как эти "лишние" обобщенные скорости выражаются через "нужные" переменные, т.е. q• j = q• j(q,p,t), необходимо воспользоваться определением (9.1)

		&
	p j =	∂L(q,q,t)	& &	&	(9.4)
		&
			= p j (q1,q2 ,...,qn ;q1,q2	,...,qn ,t) (j = 1,2,…,n).
		∂q j
					•
	и решить полученную систему алгебраических уравнений относительно qj.
				• •
	После чего осталось подставить найденные соотношения qj = qj(q,p,t) в вы-

ражение (9.3), привести подобные члены и получить искомую функцию Гамильтона.

Иногда возникает необходимость в решении обратной задачи, в нахождении функции Лагранжа по известной функции Гамильтона. Для этого воспользуется (9.3)

L(q1,q2	,...,qn ;q1,q2		n
		,...,qn ,t) = ∑p jq j − H (q1,q2 ,...,qn ; p1, p2 ,..., pn ,t) , (9.5)
	& &	&	&

j=1

а"лишние" pj как функции "нужных" переменных pj(q,q• ,t) найдем из системы алгебраических уравнений (см. второе выражение в (9.2))

&	∂H (q;p,t)	&	,q2	,...,qn ; p1, p2	,..., pn ,t)	(j = 1,2,…,n).	(9.6)
q j =	∂p j	= q j (q1

Теоретическая физика. Механика (практический курс)	187

Подставим найденные импульсы pj(q,q• ,t) в (9.5) и, после приведения подобных слагаемых, получим функцию Гамильтона.

Циклические переменные в гамильтоновом формализме

Если какая-либо обобщенная переменная (например, qk) не входит явным образом в функцию Гамильтона, т.е. является циклической координатой1, то соответствующий этой координате2 обобщенный импульс pk является интегралом движения, т.е. не меняется со временем.

Действительно, пусть H(q1,…,qk−1,qk+1,…,qn; p1,…,pk−1,pk,pk+1,…,pn,t),

тогда это напрямую следует из уравнений Гамильтона (см. первое выраже-

ние в (9.2))

pk = −	∂H (q1,K, qk −1	, qk +1,K, qn ; p1	,K, pn ;t)	≡ 0	→ pk = const .	(9.7)
&		∂qk

Циклической переменной может быть и время t, т.е. H(q1, …,qn,p1,…,pn). В этом случае в отсутствие диссипативных сил сохраняется обобщенная энергия, т.е. функция Гамильтона H(q1, …, qn, p1,…, pn) = const, и механи-

ческая система является обобщенно-консервативной. Как мы видим, наличие циклических переменных упрощает решение уравнений Гамильтона.

Напомним также, что обобщенную энергию H можно записать как

H =T (2) +U −T (0)

(9.8)

(см. (5.19) и (5.20)). Отсюда видно, что, если на систему наложены только стационарные связи, то обобщенная энергия совпадает с обычной полной энергией системы: H =T (2) +U =T +U = E .

В общем же случае, при наличии диссипативных Qdj либо других непо-

тенциальных сил Qнпj первые n уравнений Гамильтона (9.2) приобретут вид

p& j = − ∂H + Qнпj ,

∂q j

1Напомним, что циклическая координата не будет явно содержаться и в функции Лагранжа (см. замечание к задаче 5 на странице 91).

2Часто говорят "сопряженный этой координате" импульс, а qj, pj называют сопряженными

переменными (j – любое).