Математика для инженеров(практика) I часть

æ1		-4	-1	-2	ö	æ 2		1	3	ö
ç	0	-1	2	-1	÷
7) A = ç					÷ ; 8) A =	ç	4 3 2			÷ .
ç	3	-1	-2	2	÷	ç				÷
						ç	3	2	3	÷
ç	1	0	-2	1	÷	è				ø
è					ø

9. Найти произведения AB, BA матриц

æ1

0

2 ö

æ 2

4

3ö

A = ç

0

1

1 ÷, B =

ç

4

5

1

÷ .

ç

2

1

÷

ç

3

1

2

÷

è

-1ø

è

ø

10. Найти AAT

для матриц:

æ -1 0 2 ö

æ

1 5 -2ö

1) A = ç

3

-1 2

÷

; 2) A = ç

-2 0 4

÷ .

ç

4

-1 -2

÷

ç

-1 6 -2

÷

è

ø

è

ø

11. Найти (E - A)−1	æ1		-1	1ö
	, если A = ç	0	-1	1÷ .
	ç	1	-2	÷
	è			1ø

12. Найти A2	æ1		1	0ö		æ 4		0	6	ö
	- B , если A = ç	1	2	0	÷	, B = ç	0	1	4	÷ .
	ç	0	-1 1		÷	ç	4	0	2	÷
	è				ø	è				ø

13. Найти 3B−1	+ 2A−1	æ 3		1	0 ö		æ-2		1	0ö
		, если A = ç	5	1	-2	÷	, B = ç	1	1	1	÷ .
		ç	4	0	-1	÷	ç	-3	0	1	÷
		è				ø	è				ø

14.	Найти 27B−1A−1 , если A =		æ 1 -3 5ö							æ	3 1 0 ö
			ç	1	0 3		÷	, B = ç			-2		0	-1÷ .
			ç	-1 0 3			÷			ç	2 3 1				÷
			è				ø			è					ø
15.	Найти 6(AB)−1 +12(BA)T , если A = (-11								--21), B = (13					20).
16.	Найти (BA)T , если A = (-31			-21	-03	10), BT = (12							-12	10		-13).
	1	2		-2	1			æ 6			1	ö
17.								ç	0		1	÷
	Найти BA , если A = (0	3		-1	5), B = ç				0		1	÷ .
								ç	-3		2	÷
								è				ø
18.		æ 2 -3 -1ö								æ -3 2 -1ö
	Найти 7B−1AT , если A = ç		1	4	0	÷, B =				ç	0		1	0	÷ .
		ç				÷				ç					÷
		è -1 0 3				ø				è -1 0 2					ø

31

19.									æ 0 -1							0ö		, B =			æ	3 1 0ö
	Найти 9B−1A−1 , если A = ç									1			2			0	÷				ç	-3	0			1	÷ .
									ç	-1 0 3							÷				ç	0 -2 1					÷
									è								ø				è						ø
20.	Найти AT A , если A = (01								--21				02		04).
21.	Найти A4 , если A = (-31								--21).
22.	Найти значение матричного многочлена A3 + A2 - E при
	æ 1		2	-1ö
	A = ç	1	3	0	÷ , если E – единичная матрица третьего порядка.
	ç	-2	-1	0	÷
	è				ø
23.											æ 2			-1				2 ö		и E – единичная
	Найти 11(E - A)−1 , если A = ç												1	-3				2	÷
											ç		1	-2 -3					÷
	матрица третьего порядка.										è								ø
24.	Найти произведения AB, BA , если																					)
	AT =	(				)	, B =				(
		1	-2 2 0 2									3 -3 0 2 -1 .
25.	Найти 2A3 + A2								æ	1			0		1ö
					при A = ç					-1			2		1	÷ .
									ç	0			1		2	÷
									è							ø
26.						æ1				1			-1			0ö
	Найти AT A , если A = ç							3		2			-1			1	÷ .
						ç		5		-1			-3 0				÷
						è											ø
27.	Найти ABT + BAT , если A = (23													12		10		03), B = (12						10		11		00).
28.	Найти A3 - 2B2								æ 3 0						-1ö			, B =			æ0 1 2ö
					при A = ç					2			-3		-1÷						ç	0	-1		1	÷ .
									ç	1			0		1		÷				ç	1	0		2	÷
									è								ø				è					ø
29.	Найти 4A3 - B2								æ1				0	1ö					æ0			1	0ö
					при A = ç					0			1	0	÷	, B = ç				1		0	1	÷ .
									ç	1			0	1	÷				ç	0		1	0	÷
									è						ø				è					ø
30.	Найти 4A2 - 4(A−1 )2 при A = (32														20).

32

æ 0		1	0	3ö		æ 0		3	0	2 ö
31. Найти 2A + 4B , если A = ç	1	-1	3	1	÷	, B = ç	3	2	0	-2	÷ .
ç	-1 0		1	0	÷	ç	-2	-1 0		0	÷
è					ø	è					ø

32. Покажите, что хотя B ¹ D , но BX = DX , где
æ1		0	2ö		æ1		3	0ö		æ6		5	7ö
B = ç	0	1	1	÷	, D = ç	0	4	1	÷	, X = ç	2	2	4	÷ .
ç	2	0	2	÷	ç	2	3	0	÷	ç	3	3	6	÷
è				ø	è				ø	è				ø

33. Покажите, что (1	1)(2			3)	= (2		3)(1 1).
1	1	3		2	3		2	1	1
		§ 3. Ранг матрицы
10. Ранг матрицы и его свойства. Рассмотрим прямоугольную матрицу:
			æ a11		a12		...	a1n ö
	A =		ç a		a	22	...	a		÷	(1)
			ç	21					2 n ÷ .
				... ... ... ...
			ç a		a		...	a		÷
			è	m1	m 2			m n ø

Рангом матрицы A назовем наибольший порядок не равного нулю ее минора (ранг нулевой матрицы О считаем равным нулю).

Для ранга матрицы А используют следующие обозначения: r(A), rA , rank A

или просто r , когда ясно, о какой матрице идет речь.

Из определения ранга матрицы и свойств ее определителя вытекают следующие свойства ранга матрицы:

1)для матрицы Am×n справедливо 0 £ r(A) £ min(m,n) , где min (m, n) – меньшее из чисел m и n ;

2)равенство r(A) = 0 справедливо тогда и только тогда, когда А – нулевая

матрица О;

3)для квадратной матрицы А порядка n имеем r(A) = n тогда и только тогда, когда А невырожденная матрица;

4)для любой матрицы А справедливо r(AT ) = r(A) ;

5)ранг матрицы, полученной из исходной вычеркиванием какого-нибудь ее столбца (или строки), равен рангу исходной матрицы или меньше его на единицу;

6)ранг матрицы, полученной из данной матрицы в результате приписывания к ней произвольного столбца (или строки), равен рангу исходной матрицы или больше его на единицу;

7)если к матрице дописать или вычеркнуть нулевой столбец (нулевую строку), ранг полученной матрицы равен рангу исходной.

33

Из формул Лапласа (1.10) и (1.11) заключаем: если среди миноров порядка k (k ≤ min (m,n)) матрицы А размера m× n есть не равные нулю, а все

миноры (k +1) -го порядка равны нулю, то r(A) = k .

В связи со сказанным выше, ранг матрицы можно найти так. Если все миноры первого порядка, т.е. элементы матрицы А, равны нулю, то r = 0 . В случае, когда есть хотя бы один ненулевой элемент матрицы, рассмотрим миноры второго порядка, включающие в себя этот элемент. Если все они равны нулю, то r = 1 . При наличии хотя бы одного ненулевого минора второго порядка рассмотрим миноры третьего порядка и т.д. Этот процесс продолжим до тех пор, пока не станет ясно, что все миноры порядка k +1 равны нулю или уже не существуют. Тогда получаем, что

r = k .

æ 2		4	3	2	ö
Пример 1. Определить ранг матрицы A = ç	5	10	0	1	÷ .
ç	0	1	0	2	÷
è					ø

Решение. Выберем любой ненулевой элемент матрицы A , например, a11 = 2 . Вычислим минор второго порядка, содержащий в

себе a , т.е. определитель	a11	a12	=	2	4	= 0 .
11	a21	a22		5	10

Так как получили нуль, то следует выбрать другой минор второго

порядка, например,	a	a	=	4	3	= -30 ¹ 0 .
	a12	a13		10	0
	22	23

Рассмотрим минор третьего порядка, содержащий в себе полу-

ченный ненулевой минор второго порядка,	4	3	2	= -57 ¹ 0 .
	10	0	1
	1	0	2

Так как минор третьего порядка не равен нулю, а миноров более высокого порядка нет, то r(A) = 3 . □

æ 4		6	2 ö
Пример 2. Определить ранг матрицы A = ç	2	3	-1÷ .
ç	6	9	÷
è			1 ø

Решение. Выберем любой ненулевой элемент матрицы A , например, a11 = 4 . Вычислим минор второго порядка, содержащий в себе a11 ,

т.е. определитель	a	a	=	4	6	= 0 .
	a11	a12		2	3
	21	22

34

Но существует другой ненулевой минор второго порядка, например,

a	a		6	2	= -12 ¹ 0 .
a12	a13	=	3	-1
22	23

4 6 2

Рассмотрим минор третьего порядка, т.е. определитель 2 3 -1 . 6 9 1

Поскольку третья строка его является суммой первых двух, т.е. их линейной комбинацией, то этот определитель равен нулю. Таким образом, существует минор второго порядка, не равный нулю, но не существует ненулевого минора третьего порядка. Поэтому, r(A) = 2 .

□

Отметим, что элементарные преобразования матрицы А не меняют ее ранга. На практике при нахождении ранга матрицы А, ее с помощью элементарных преобразований переводят в матрицу, ранг которой легко найти. Можно доказать, что каждая ненулевая прямоугольная матрица А вида (1) преобразуется в трапециевидную:

	æb11		b12		...	b1r ...
	ç	0	b	22	...	b	2 r	...
	ç
B =	ç ... ... ... ... ...
	ç	0		0	...	b r r ...
	ç	0		0	...		0 ...
	ç ... ... ... ... ...
	ç	0		0	...		0 ...
	è

b	ö
1 n	÷
b 2 n ÷
...	÷	,	b	¹ 0, i =		.
					1, r
b r n ÷			i i
0	÷
...	÷
0	÷
	ø

На основании свойства 7) ранга матрицы имеем r(B) = r(B1) , где B1 – матрица размеров r × n , полученная из В в результате вычеркивания нулевых строк. Очевидно, что матрица B1 имеет ненулевой минор M порядка r , расположенный в левом верхнем углу и равный b11 b22 ...br r . Поэтому,

r(A) = r(B) = r(B1) = r . При нахождении ранга будем писать: A ~ B ~ B1 .

Пример 3. Определить ранг матрицы

æ 2		4	-1	2	5	ö
ç	0	3	2	5	0	÷
A = ç	3	2	-1	0	2	÷ .
ç						÷
è	1	-2	0	-2	-3	ø

Решение. Поменяем местами первую и четвертую строки:

æ 2 4			-1	2	5 ö		æ1 -2 0				-2 -3ö
ç	0	3	2	5	0	÷	ç	0	3	2	5	0	÷
A = ç	3	2	-1	0	2	÷	ç	3	2	-1	0	2	÷ .
ç						÷	ç						÷
è	1	-2 0		-2 -3		ø	è	2	4	-1	2	5	ø

35

Умножим первую строку на (-3) и сложим ее с третьей, умножим первую строку на (-2) и сложим с четвертой. Получим

æ1 -2 0				-2 -3ö			æ1 -2 0				-2 -3ö
ç	0	3	2	5	0	÷	ç	0	3	2	5	0	÷
ç	3	2	-1	0	2	÷	ç	0	8	-1	6	11	÷ .
ç						÷	ç						÷
è	2	4	-1	2	5	ø	è	0	8	-1	6	11	ø

Вторую строку умножим на çæ -												8		÷ö	и сложим ее с третьей и четвертой
строками:										è	3 ø
		æ1 -2 0 -2 -3ö											æ1			-2					0			-2							-3ö
													ç		0 3						2					5					0		÷
		ç	0 3			2 5				0	÷		ç								19					22							÷ .
		ç	0 8			-1 6 11					÷		ç		0 0 -									-							11		÷
		ç	0 8			-1 6 11					÷		ç								3							3					÷
		è									ø				0	0															0
													è								0					0							ø
Получили трапециевидную матрицу. Вычеркнем нулевую строку,
получим
									æ																ö
						A B =			ç1		-2					0			-2					-3	÷
									ç	0 3						2				5				0	÷ .
							1		ç						-		19		-	22					÷
									ç0		0													11÷
																				3
Значит, r(A) = r(B1) = 3 . □									è							3									ø
																			æ 2					0					4		6ö
Пример 4. Определить ранг матрицы A = ç																				0				-1					9		2	÷ .
																			ç	-2				3					0		1	÷
																			è													ø
Решение. Прибавим к третьей строке первую:
						æ 2 0 4 6ö æ 2 0 4 6ö
				A = ç			0	-1 9 2							÷	ç		0	-1 9 2										÷ .
						ç	-2 3 0 1								÷	ç		0 3 4 7											÷
						è									ø è														ø
Разделим первую строку на 2, а вторую – умножим на (–1), тогда
æ2 0 4 6ö æ1 0 2 3 ö
ç	0	-1 9 2		÷	ç	0 1		-9		-2			÷ .
ç	0 3 4 7			÷	ç	0 3 4 7							÷
è				ø è									ø

Умножим вторую строку на (-3) и сложим ее с третьей и будем иметь:

æ1		0	2	3 ö		æ1		0	2 3 ö
ç	0	1	-9	-2	÷	ç	0	1	-9	-2	÷ .
ç	0	3	4	7	÷	ç	0	0	31	13	÷
è					ø	è					ø

36

Получили трапециевидную матрицу. Значит, r(A) = 3 . □

20. Базисный минор. Скажем, что заданный столбец (заданная строка) есть линейная комбинация других k столбцов (строк), если его (ее) можно представить в виде суммы этих k столбцов (строк), умноженных соответственно на числа α1,α2 ,...,αk .

Будем говорить, что столбцы матрицы Am×n линейно зависимы, если хотя бы

один из них есть линейная комбинация остальных. В противном случае столбцы называют линейно независимыми.

Аналогично определяется линейная независимость строк.

Окаймляющим минором для минора M порядка k матрицы А назовем минор порядка k +1 этой матрицы, который содержит минор М.

Базисным минором матрицы А будем называть ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы А.

Отметим, что для ненулевой матрицы А всегда существует базисный минор, причем таких миноров может быть несколько.

Если для данной матрицы выбран некоторый базисный минор, то строки и столбцы данной матрицы, на пересечении которых стоят элементы базисного минора, назовем базисными строками и столбцами.

Справедливы следующие свойства:

1)каждый столбец (каждая строка) матрицы есть линейная комбинация базисных столбцов (строк);

2)базисные столбцы (строки) матрицы линейно независимы.

Из свойств 1), 2) вытекает еще один, полезный для практического использования при вычислении ранга матрицы, метод окаймляющих миноров: если матрица А имеет ненулевой минор порядка r и все его окаймляющие миноры равны нулю или не существуют, то ранг матрицы А равен r .

Пример 5. Определить ранг и найти базисные миноры матрицы

æ 2		0	-4	1	0	ö
A = ç	3	2	0	0	1	÷ .
ç	0	1	3	1	0	÷
è						ø

Решение. Ненулевой минор второго порядка этой матрицы							2	0	.
							3	2
Окаймляющий его минор третьего порядка		2	0	-4		= 0 , но
		3	2	0
		0	1	3

окаймляющий минор	2	0	1	= 7 ¹ 0 . Значит, r(A) = 3 .
	3	2	0
	0	1	1

37

Базисными минорами являются миноры третьего порядка этой матрицы, отличные от нуля:

		2	0			1		,		2	0 0						,		0		-4 1								,		0	-4 0				,
		3	2			0				3	2 1								2 0 0												2	0 1
		0	1			1				0		1			0				1		3						1				1	3		0
					-4 1 0							,		2	-4					1		,			2		-4 0						. □
					0 0 1									3 0						0					3				0 1
					3	1			0					0			3			1					0				3	0
Пример 6. Определить ранг и найти базисные миноры матрицы
												æ 3					-1				0		1			ö
												A = ç			1		0				0		1			÷ .
												ç			2		-1				0		0			÷
												è														ø

Решение. Ненулевой минор второго порядка этой матрицы
	3	-1		. Окаймляющие его миноры третьего порядка		3	-1	0		,
						1	0	0
	1	0				2	-1	0

3 -1 1

10 1 равны нулю. Значит, r(A) = 2 .

2-1 0

Базисными минорами являются миноры второго порядка этой матрицы, отличные от нуля:

							3	-1		,				3		-1		,		1		0		. □
							1 0							2		-1				2		-1
				Задания для самостоятельной работы
1. Найти ранг следующих матриц:																									æ6		1 0	0 ö
	æ2		5	0 ö							æ2				1 0 0 ö
											ç	1				7		0	-1÷						ç			÷
1)	ç	7	0	-1÷	;			2)														; 3)				1	-3 0		;
											ç	0				0		1	0		÷				ç			-1÷
	ç	2	1	0 ÷							ç										÷				ç	3	0 1	÷
	è			ø							è	0				1		0	0		ø				è			0 ø

	æ 2 1				2	0ö				æ 4 1				0 -1ö								æ0		0	1	1 1		ö
	ç-1 2				0	1÷				ç-2 4 0						-1÷
																						ç	0	1	1	7 0		÷
4)	ç	3		-4 5		2	÷	; 5)		ç	3	8		0		-1÷			;		6)								;
																						ç	1 1		2	8 1		÷
	ç	1		0	1	0	÷			ç	0	0		1		0		÷				ç						÷
	ç	0		1	0	1	÷			ç	1	0		0		1		÷				è	2	3	5	23 2		ø
	è						ø			è								ø
	æ1		1	0 0 0ö					æ2 1				0		2		-1ö				æ	-3 0 0 0					-1ö
7)	ç	0	1	1 0 0			÷	; 8)	ç	1 1			1		0		0		÷	; 9)	ç	-1 0 1 0					2	÷
	ç	0	0	1 1 0			÷		ç	3 2 1					2				÷		ç	8		-1 2 3				÷ .
	ç						÷		ç								-1÷				ç						-1÷
	è	0	0	0 1 1			ø		è	1 0			-1 2				-1ø				è	4		-1 3 3			0	ø

38

			æ1		0	-1ö
2. Найти	rank(A	2	ç	1	-2	0	÷	, B
			- B) , если A = ç				÷
			ç	3	-1	0	÷
			è				ø

3.		æ0		2	-1ö	æ3
	Найти rank(AB) , если A = ç		1	0	0 ÷, B = ç		0
		ç	1	2	÷	ç	0
		è			-1ø	è
		æ	-2	0	1	ö
4.	T	ç	-1	2	3	÷
	Найти rank(A ) , если A = ç					÷ .
		ç	2	0	-1÷
		è	-1	2	3	ø
5.	Найти rank(BA) , если:

æ 4			0	-2	ö
ç	0		1	5	÷
= ç					÷ .
ç	4	-1		2	÷
è					ø
4		-1ö
1		2	÷ .
1		1	÷
			ø

æ 2		7	-1ö			2	-3		1 0
ç	1	0	0	÷
1) A = ç	2	6	1	÷	, B = (-1 0 1 0);
ç	-1	3	1	÷
è				ø
2) A = (	1	2	-2	1		æ 7		-1ö
						ç	0	1	÷
	0 1		-1 5), B = ç				9	1	÷
						ç	-3	1	÷
						è			ø

6. Найти rank(12B−1 +12A−1 ), если

æ -2 -1 0ö					æ	0	1	0 ö
A = ç	0	1	2	÷	, B = ç	-1 1		-1÷ .
ç	1	0	1	÷	ç	2	0	÷
è				ø	è			-1ø

7.	Найти rank	(	8B−1A−1	)	, если	æ 0	-3	6ö	æ 3	1
						ç	-1	÷	ç	0
						A = ç 1		0÷	, B = ç -3
						è -1	0	3ø	è 0	3
8.	Найти rank8(( AB)−1 + (BA)T ) , если A = (--31								-22), B = (13

0ö

3÷ .

1÷ø

--21).

9. Найти rank

(

7B−1AT

)

, если

æ 2

4 -1ö

æ 5 2

1ö

ç

-4

0

÷

ç

1

÷

A = ç 1

÷

, B = ç 0

2÷ .

è -1

-2

3 ø

è-1 0

2ø

10.

Найти rank(2A3 - 3B2 ) , если A =

æ1

0

1

ö

æ0

1

0ö

ç

0

1

0

÷, B = ç

1

0

1

÷ .

ç

1

0

1

÷

ç

0

1

÷

Найти rank (AT A), если:

è

ø

è

0ø

11.

39

1) A =	1 -2 0 1		; 2)		æ7		1	-1	2	ö
				A = ç		3 2		-1 1		÷ .
	(3	-1 2 0)			ç	5	-1	3	0	÷
					è					ø
			æ0		0		0	1	0		ö
			ç	0	1		-2	3	0		÷
12. Найти rankA , если A = ç				0	-1		2	0	-3		÷ .
			ç	1	-2		3	0	3		÷
			ç	2	-3		1	-1	0		÷
			è								ø

13.	Найти rank(A4 ), если A = (23													--21).
14.	Найти rank(A3														æ1		2	-1ö
					+ A2 - E) , если A = ç											1	-3	0	÷ .
															ç	2	-1	1	÷
															è				ø
15.	Найти rank		((	E	- A	)	−1		)					æ 2		-1	4ö
														ç		3		÷
											, если A = ç1						2÷ .
16.														è1		-2	4ø
	Найти rank(AB) и rank(BA) , если																	)
	(							)				(
	AT = 1	-2 3 5 2								, B =			3	-3 2 2 1 .
17.														æ	1	0	1ö
	Найти rank(2A3 + A2 ) , если A = ç														-1	2	1	÷ .
														ç	0	1	2	÷
														è				ø

æ 0		-1	3	1	0 ö
ç	2	-2	3	1	-1÷
18. Найти rankA , если A = ç	-1	2	0	-3	-1÷ .
ç	6	1	2	3	4	÷
ç	2	1	0	0	1	÷
è						ø

19. Найти rank(ABT + BAT ), если
A = (23	12 10			03), B = (12 10				11	00).
									æ 3 2 -1ö									æ0		1 2ö
20. Найти rank(A3 - 2B2 ) , если A = ç											2		3	-1÷		, B = ç			2	-1 1		÷ .
									ç		1 0 1				÷			ç	1	-2 2		÷
									è						ø			è				ø
21. Определить ранги и найти базисные миноры матриц:
	æ 2		5	1	0	0ö			æ6			5 4				2ö				æ1 1 0ö
1) A = ç		0	1	0	1	1	÷ ; 2)	A = ç		2			-3 1			0	÷	; 3) A = ç			2 0		1	÷ .
	ç	1	0	0	0	1	÷		ç	8		2 5				2	÷			ç	0 2		1	÷
	è						ø		è								ø			è				ø

40