Tom_2

Отсюда видно, что,		если существует предел Sn		при n → ∞ , то
	n	n
существует и предел	ò f (x)dx . Если предел ò f (x)dx			при n → ∞ не
	1	1
существует, то не существует и предел Sn . □			+∞
Замечание 2.	Вместо интеграла		ò f (x)dx можно
		+∞	1
рассматривать интеграл		ò f (x)dx, где k ,	k >1. Отбрасывание

k

k первых членов ряда в ряде (1), как известно, не влияет на сходимость (расходимость) этого ряда.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд

					∞	1
				å						.	(5)
						nln n
				n=2
	Решение. Используем интегральный признак Коши. Функция
	f (x) =	1	удовлетворяет условиям теоремы 7. Имеем
		xln x
			+∞
				dx							∞2 = ∞.
			ò		= ln			ln x
				xln x
			2

Значит, ряд (5) расходится. □

§ 3. Знакочередующиеся ряды и признаки их сходимости

Приведенные в § 2 достаточные условия сходимости относятся к рядам с положительными членами. Теперь рассмотрим еще один тип рядов – знакочередующиеся ряды.

Знакочередующимся рядом называется ряд вида

	a − a	2	+ a		−K + (−1)n−1a +K,		(1)
	1			3		n
где an > 0,	n .
10. Признак Лейбница.
Теорема 1 (Лейбница). Если члены ряда (1) удовлетворяют
условиям: 1)	n N : a	> a		n+1	; 2) lim a	= 0 , то ряд (1) сходится, и
	n				n→∞	n

его сумма S не превосходит a1 , т.е. S ≤ a1 .

Доказательство. Возьмем частичную сумму ряда с четным числом членов

14

S2m = a1 − a2 + a3 −K+ a2m−1 − a2m =

= a1 − (a2 − a3 ) − (a4 − a5 ) −K− (a2m−2 − a2m−1) − a2m > 0,

т.е. S2m > 0 и ограничена:

S2m < a1 ,

значит, она имеет предел S ≤ a1 .

При

нечетных

n ,

т.е. при

n = 2m +1,

m = 0,1, 2, ... , имеем

S2m+1 = S2m + a2m+1 .

Перейдем

к

пределу

при

m → ∞

и получим

lim S

2m+1

= lim S

2m

+ lim a

.

По

условию

теоремы

m→∞

m→∞

m→∞

2m+1

lim a

2m+1

= 0 . Значит,

lim S

2m+1

= lim S

2m

= S . □

m→∞

m→∞

m→∞

Следствие 1. В знакочередующемся ряде сумма отброшенных

членов r

= (−1)n (a

− a

+K)

по модулю не превосходит первого

n

< an+1 .

n+1

n+2

из них

rn

Заметим, что для исследования знакочередующегося ряда вида

−a1 + a2 − a3 + a4 −K

(2)

с отрицательным первым членом, нужно все члены ряда (2) умножить на (–1) и получить ряд (1). Ряды (1) и (2), для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называют лейбницевскими или рядами Лейбница.

Соотношение S ≤ a1 позволяет получить оценку ошибки при замене суммы S ряда (1) его частичной суммой Sn . Действительно, отброшенный ряд (остаток rn ) есть также знакочередующийся ряд

(−1)n (an+1 − an+2 +K) , сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т.е. rn < an+1 . Значит, ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов.

∞ (−1)n−1

Пример 1. Проверить на сходимость ряд å

.

n

n=1

Решение. Этот ряд является знакочередующимся. Он

удовлетворяет

условиям

признака

Лейбница,

так

как

a

n

=

1 >

1

= a

, n N и

lim

1

= 0 . Значит он сходится. □

n +1

n

n+1

n→∞ n

сумму

S

парных

20. Преобразования Абеля. Пусть имеем

произведений вида:

m

S = åαi βi =α1β1 + α2β2 + ... + αmβm .

(3)

i=1

Часто полезно следующее элементарное преобразование Абеля. Рассмотрим суммы

B1 = β1, B2 = β1 + β2 ,..., Bm = β1 + β2 + ... + βm

15

и выразим множители βi через эти суммы:

β1 = B1, β2 = B2 − B1,..., βm = Bm − Bm−1.

Сумму S можно написать так:

m

S = åαi βi = α1B1 + α2 (B2 − B1) +α3 (B3 − B2 ) + ... + αm (Bm − Bm−1) =

i=1

=(α1 −α2 )B1 + (α2 −α3 )B2 + ... + (αm−1 −αm )Bm−1 + αm Bm =

m−1

(4)

= å(αi −αi+1)Bi + αmBm.

i=1

Формулу (4) для суммы (3) и называют преобразованием Абеля.

Используем формулу (4) для оценки сумм вида (3).

Лемма 1. Если множители αi

не

возрастают

(или

не

убывают),

а

суммы Bi

все

ограничены по абсолютной

величине

числом B :

Bi

≤ B (i =1,2,...,m),

то

m

≤ B(

).

S

=

åαi βi

α1

+ 2

αm

i=1

αi −αi+1,

Доказательство. Действительно,

так

все

разности

i = 1,2,...,m −1 в (4) одного знака, то

m−1

i

i+1

m

(

1

m

m )

(

1

m )

å

S

≤

i=1

α

−α

B +

α

B = B

α −α

+

α

≤ B

α

+2

α

. □

Из доказательства леммы 1 следует, что если множители αi

не

возрастают и положительны, то оценку

S

можно упростить:

m

S

=

åαi βi

≤ Bα1.

(5)

i=1

30. Признаки Абеля и Дирихле. Рассмотрим ряд

∞

åanbn = a1b1 +a2b2 + ... ,

(6)

n=1

где {an} и {bn} − две последовательности вещественных чисел.

Признак Абеля. Если ряд

∞
åbn = b1 + b2 + ...	(7)
n=1

сходится, а числа an образуют монотонную и ограниченную последовательность:

16

	an			≤ K (n =1,2,...),
то ряд (6) сходится.
Признак Дирихле. Если частичные					суммы Bn ряда (7) в
совокупности ограничены:				≤ M (n =1,2,...),
	Bn

а числа an образуют монотонную последовательность, стремящуюся к нулю:

lim an = 0,

n→∞

то ряд (6) сходится.

Доказательство. Для установления сходимости ряда (6) используем критерий сходимости Коши (теорему 2.2). Рассмотрим

с	у	м	м	у
	n+m	m
	å ak bk = åan+ibn+i ,
	k=n+1	i=1

которая имеет вид (3), если положить αi = an+i , βi = bn+i . Оценим эту

сумму с помощью леммы 1.

Если выполняется предположение признака Абеля о сходимости ряда (7), то по заданному ε > 0 найдется такой номер N(ε ) , что при

n > N(ε ) выполняется неравенство

bn+1 + bn+2 + ...+ bn+ p < ε

при всяком натуральном p . Значит, за число B , которое упоминается в лемме 1, можно принять ε . Тогда при n > N(ε ) и любом натуральном m имеем:

n+m

å akbk ≤ ε ( an+1 + 2 an+m )≤ 3Kε,

k =n+1

что и доказывает сходимость ряда (6).

При предположении признака Дирихле (о сходимости монотонной последовательности {an} к нулю), по заданному ε > 0 найдем такой номер N(ε ) , что при n > N(ε ) имеем

an < ε .

Очевидно, что

	bn+1 + bn+2 + ... + bn+ p	=	Bn+ p − Bn	≤ 2M .
Полагая в лемме 1 B = 2M		получаем,		что при n > N(ε ) и
m =1,2,...,

17

n+m

å akbk ≤ 2M ( an+1 + 2 an+m )≤ 6Mε,

k =n+1

т.е. сходимость ряда (6) установлена. □

В качестве примера на применение признака Дирихле отметим, что если an , монотонно убывая, стремится к нулю, а bn = (−1)n−1, то

все условия этого признака, очевидно, выполнены. Поэтому ряд (1) сходится. Таким образом, теорему Лейбница можно получить как следствие признака Дирихле.

§4. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

∞

Числовой ряд åan , содержащий бесконечное множество

n=1

положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Например, знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда.

Для знакопеременных рядов справедлив следующий достаточный признак сходимости.

Теорема 1. Пусть дан знакопеременный ряд

∞
åan .					(1)
n=1
Если сходится ряд
∞
å		an		,	(2)

n=1

составленный из модулей членов данного ряда (1), то сходится и знакопеременный ряд (1).

Доказательство.

Рассмотрим

вспомогательный

ряд,

составленный из членов рядов (1) и (2):

∞

å(an +

an

).

(3)

n=1

Очевидно, что 0 ≤ an +

an

≤ 2

an

,

n . Согласно условию

∞

теоремы, ряд å2

an

сходится. Следовательно, по теореме

2.3,

n=1

18

∞	∞				∞
сходится и ряд (3). Поскольку åan = å(an +			an		)− å		an		, то, на
n=1	n=1				n=1

основании теоремы 1.2, ряд (1) сходится. □ Отметим, что обратное утверждение не имеет места: если

сходится ряд (1), то это не означает, что сходится ряд (2).

			∞	(−1)n−1
	Например,		ряд å		сходится по признаку Лейбница.
				n
			n=1
	∞
	Однако ряд å	1	, составленный из модулей членов данного ряда, т.е.
	n=1 n

гармонический ряд, расходится.

Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если ряд (2) сходится. Если же ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то ряд (1)

называется условно сходящимся.

Пример 1. Исследовать на абсолютную и условную сходимость

р	я						д
∞	(−1)n−1
å			.
	α
n=1	n
	∞		1
Решение. Если α >1, то ряд å					сходится, и исходный ряд
			α
	n=1 n				∞
сходится абсолютно. При 0 < α ≤1		ряд			å	1	расходится, хотя
						α
					n=1 n

исходный ряд сходится по признаку Лейбница, т.е. для указанных α исходный ряд является условно сходящимся. □

Свойства абсолютно сходящихся рядов.

1.Если ряд (1) абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд (1).

∞∞

2.Абсолютно сходящиеся ряды åan и åbn с суммами S1 и

n=1	n=1
S2 можно почленно складывать (вычитать). В		итоге	получится
абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна		S1 + S2	(разность
которого равна S1 − S2 ).
∞	∞
Произведением двух рядов åan и	åbn называют ряд вида
n=1	n=1

(a1b1) + (a1b2 + a2b1) + (a1b3 + a2b2 + a3b1) +K+ (a1bn + a2bn−1 +K+ anb1) +K.

19

3. Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами S1 и S2 есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна

S1 × S2	.
В случае условно сходящихся рядов свойства 1 − 3, вообще
говоря,	не верны. В качестве примера рассмотрим условно

сходящийся ряд 1- 12 + 13 - 14 +K с суммой S. Перепишем его члены так, что после одного положительного члена будут идти два

о т р и ц а т е л ь н ы х ,																																		т . е .							в				в и д е
æ			1		ö		1			æ		1				1 ö				1		æ	1				1 ö				1				1		1		1		1		1			1
ç1-					÷ -				+ ç					-				÷	-			+ ç		-					÷ -				+K =			-		+		-		+			-			+K =
			2				4					3								8			5								12				2		4		6		8		10			12
è					ø					è						6 ø						è			10 ø
	1	æ				1				1				1				1		1				ö			1			S .
=		ç1			-			+			-					+			-			+K÷ =
	2					2				3				4				5		6							2
		è																						ø
Сумма ряда уменьшилась вдвое.
					Рассмотрим условно сходящийся ряд (1) и два положительных
р																						я				∞										д												а
																								å pk ,																								(4)
																								k=1
																											∞
																										å qm ,																						(5)

m=1

составленных соответственно из положительных и абсолютных величин отрицательных членов ряда (1).

Теорема Римана. Если ряд (1) сходится неабсолютно, то какое бы ни взять наперед число S (конечное или равное ±∞) , можно так

переставить члены в этом ряду, чтобы преобразованный ряд имел своей суммой именно S.

Доказательство. Рассмотрим случай конечного S. Так как ряд

(1) сходится неабсолютно, то оба ряда (4) и (5), как легко видеть, расходятся. Значит, и все их остатки также будут расходящимися, так что в каждом из этих рядов, начиная с любого места, можно набрать столько членов, чтобы сумма превзошла любое выбранное число. Пользуясь этим, мы следующим образом произведем перестановку членов ряда (1).

Сначала возьмем столько положительных членов ряда (1) (или (4)) в том порядке, в каком они в нем расположены, чтобы их сумма превзошла число S:

p1 + p2 + ... + pk1 > S.

20

Вслед за ними выпишем отрицательные члены ряда (1) в том порядке, в каком они в нем расположены, взяв их столько, чтобы общая сумма стала меньше S:

p1 + p2 + ... + pk1 − q1 − q2 − ... − qm1 < S.

После этого снова поместим члены из числа оставшихся так, чтобы было

p1 + ... + pk1 − q1 − ... − qm1 + pk1+1 + ... + pk2 > S

и т.д. Процесс продолжаем до бесконечности. Очевидно, каждый член ряда (1), и при этом со своим знаком, встретится на определенном месте. Если всякий раз, выписывая члены рядов (4) или (5) набирать их не больше, чем необходимо для осуществления требуемого неравенства, то отклонение от числа S в ту или иную сторону не превзойдет по абсолютной величине последнего написанного члена.

Тогда, учитывая,	что	lim p	k	= 0, lim q		m	= 0		(это		следует из
		k→0			m→0
сходимости ряда (1)), ясно, что ряд
p1 + ... + pk − q1 − ... − qm		+ ... + pk			+1 + ... + pk			− qm		+1	− ... − qm + ...
1	1			i−1				i	i−1		i

имеет своей суммой S.

Если S = +∞ , то, взяв последовательность возрастающих до бесконечности чисел Si , можно набор положительных чисел подчинить требованию, чтобы сумма последовательно становилась больше S1, S2 , S3 и т.д., а из отрицательных членов помещать лишь по

одному после каждой группы положительных. Таким путем, очевидно, будет составлен ряд, имеющий сумму +∞. Аналогично можно получить и ряд с суммой −∞. □

Установленный результат подчеркивает тот факт, что неабсолютная сходимость осуществляется лишь благодаря взаимному погашению положительных и отрицательных членов, и поэтому существенно зависит от порядка, в котором они следуют один за другим. Абсолютная же сходимость основана на быстроте убывания членов ряда и от порядка их следования не зависит.

В связи с этим, действия над рядами можно производить, только убедившись в их абсолютной сходимости. Для установления абсолютной сходимости используются все признаки сходимости из § 2, заменяя всюду общий член ряда его модулем.

Задания для самостоятельной работы

1.Записать общий член следующих рядов:

21

1

3

5

7

2

æ

3 ö2

æ 4

ö3

æ 5

ö4

а)

+

+

+

+ ...;

б)

+ ç

÷

+ ç

÷

+ ç

÷

+ ...;

2

23

24

3

22

è

7 ø

è11

ø

è13

ø

в)

1

+

1

+

1

+ ....

1× 2 ×3

2

×3× 4

3

× 4×

5

2. Исследовать сходимость знакоположительных рядов:

∞

1

æ

2

ön

∞

1

∞

n

а) å

ç

÷

;

б)

å

;

в) å

;

2n +1

3

n(n -1)

n=1 n

è

ø

n=1

n=1

∞

æ 2n +1ö

n

∞

n3

∞

(n!)2

2

г) åç

÷

;

д)

å

;

е) å

.

n=1è 3n +1

ø

n=1 en

n=1

(2n)!

3. Исследовать сходимость следующих знакочередующихся рядов:

1

1

1

∞

n

а) 1-

+

-... + (-1)n−1

+ ...;

б) å(-1)n−1

;

3

5

2n -1

6n - 5

n=1

∞

(-1)n−1

2n +1

в) å

.

n=1

n(n +1)

4.Пользуясь интегральным признаком Коши, исследовать сходимость рядов:

	∞	1		∞	1
	а) å		, если p >1;	б) å		.
	n=1 n p			n=1	(10n -1)ln(10n -1)

5. Исследовать сходимость знакопеременных рядов и установить характер сходимости (абсолютная, условная):

		∞		(-1)n−1			3n - 2						∞		(-1)		n−1	(n +1)
а)	å									; б)			å							;
	n=1						3n -1						n=1		n2 + n +1
в)		1		+	7	-		13	+		19		+	25		-	31		+ ....
	10
				102		103				104			105			106

22

ГЛАВА 2

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

§ 1. Функциональные ряды и области их сходимости

Рассмотрим ряд вида

∞
f1(x) + f2 (x) +K + fn (x) +K = å fn (x),	(1)
n=1
где fn (x), n N – некоторые функции аргумента x,	заданные на
множестве X. В этом случае говорят, что на множестве X задан
функциональный ряд.
При фиксированном x = x0 X ряд
∞
å fn (x0 )	(2)

n=1

становится числовым рядом. Если числовой ряд (2) сходится, то говорят, что функциональный ряд (1) сходится в точке x = x0 .

Множество всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости. Область сходимости может совпадать с множеством X, может составлять часть множества Х, а может быть и пустым множеством.

Пусть D – область сходимости ряда (1). Значит, для каждого

					∞
фиксированного	x D	соответствующий числовой		ряд	å fn (x)
			x D		n=1
сходится и имеет сумму. Если каждому				поставить в
соответствие число, равное этой сумме, то на множестве					D будет
определена некоторая		функция S = S(x) ,	называемая		суммой
функционального ряда (1), т.е.
S(x) = f1(x) + f2 (x) +K + fn (x) +K,			x D .
Пример 1. Найти область сходимости функционального ряда
∞
åxn .
n=1
Решение.	В данном случае fn (x) = xn , n = 1, 2,K . Эти

функции определены на . Очевидно, что этот функциональный ряд

23