4.2 Передаточная функция фильтра

В общем случае выходной сигнал цепи n-го порядка можно определить через входной сигнал, решая линейное дифференциальное уравнение n-го порядка вида

,

где x(t) является входным, а y(t) – выходным сигналом и nm.

Применяя к этому уравнению преобразование Лапласа, получаем передаточную функцию K(p) = Y(p) / X(p) в виде отношения двух полиномов N(p) и D(p), а именно

,

где p =  + j представляет собой комплексную частоту, а N(p) и D(p) являются полиномами переменной с вещественными коэффициентами a_i и b_j. Записывая полиномы N(p) и D(p) в виде сомножителей, получаем нули и полюсы передаточной функции

.

В формуле K₀ представляет собой постоянный коэффициент передачи в полосе пропускания.

Сами полюсы p_j и нули z_i могут быть либо вещественными, либо комплексно-сопряжёнными. Объединяя комплексно-сопряжённый нуль и полюс, получаем частный случай передаточной функции второго порядка

,

где корни полиномов

z₁, z₂ = – _z ± j_z,

p₁, p₂ = – _p ± j_p.

Для определения передаточной функции цепи необходимо произвести подстановку вида p = j. В результате получим

.

Здесь K() = |K(j)| представляет собой амплитудно-частотную, а () – фазо-частотную характеристику цепи.

Для того чтобы сделать расчёты универсальными, частоту нормируют делением текущей частоты  или f на частоту нормирования. В качестве последней в фильтрах нижних и верхних частот выбирают частоту среза _с или f_c, а в полосовых и режекторных фильтрах – частоту, равную соответственно полосе пропускания или режекции. Таким образом, для ФНЧ и ФВЧ нормированная частота  равна отношению

.

Комплексно-сопряжённая пара полюсов характеризуется собственной нормированной частотой _p

и добротностью Q_p

или коэффициентом затухания d_p – величиной, обратной добротности,

.

Действительный полюс характеризуется только собственной частотой _p

.

Аналогичные оценки вводятся и для нулей передаточной функции.

4.3 Виды аппроксимации частотных характеристик

Создать идеальный фильтр невозможно, поэтому на практике используются фильтры, которые в той или иной степени приближаются к идеальному. В зависимости от требований, предъявляемых к фильтру, используют разные виды аппроксимации частотных характеристик. В зависимости от вида аппроксимации различают следующие фильтры (название фильтра соответствует виду аппроксимации):

1. фильтр Баттерворта. Обеспечивает максимально плоскую амплитудно-частотную характеристику в полосе пропускания;

2. фильтр Чебышева. Обеспечивает более крутой спад переходного участка, чем фильтр Баттерворта, но в полосе пропускания имеются волнообразные отклонения от идеально плоской прямой заданного уровня K;

3. эллиптический фильтр. Обеспечивает самую большую крутизну ослабления переходного участка. Волнообразные колебания коэффициента передачи имеются как в полосе пропускания, так и в полосе задержания;

4. фильтр Бесселя. Обеспечивает максимально линейную фазовую характеристику с заданным временем замедления в рабочем диапазоне частот, но имеет наименьшую крутизну спада переходного участка;

5. параболический фильтр. Обеспечивает минимальные искажения импульсных сигналов;

6. обратный фильтр Чебышева. В полосе задержания имеются волнообразные колебания характеристики заданного уровня K.

В настоящее время наиболее распространёнными являются фильтры Баттерворта, Чебышева и Бесселя. Объясняется это простотой их расчёта и реализации. Данные типы фильтров являются полиномиальными, т.е. их передаточная функция представляет собой отношение некоторого постоянного числа к определённому полиному. Простота их расчёта объясняется отсутствием конечных нулей передаточной функции.