5 Расчёт активных rc-фильтров нижних частот
5.1 Фильтр Баттерворта
Амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта нижних частот n-го порядка определяется следующим образом:
,
(n = 1, 2, 3 …).
В общем виде передаточная функция фильтра Баттерворта
,
где К0 – постоянное число.
Для чётного порядка фильтра (n = 2, 4, 6 …) передаточную функцию нормированного фильтра можно записать в виде произведения сомножителей:
.
Для нечётного порядка фильтра (n = 1, 3, 5 …) передаточная функция имеет вид:
.
В обоих случаях коэффициенты задаются при С0 = 1 для n = 1, 2 … следующим образом:
.
В табл. 5.1…5.4 приведены полиномы знаменателя передаточной функции фильтра Баттерворта 1…10 порядков, нормированные относительно частоты среза на уровне -3, -2, -1 и -0,5 дБ.
Таблица 5.1. Полиномы знаменателя фильтров Баттерворта,
нормированные относительно частоты среза на уровне -3 дБ
n |
Полином |
1 |
(1+p) |
2 |
(1+1,414p+p2) |
3 |
(1+p)(1+p+p2) |
4 |
(1+0,765p+p2)(1+1,848p+p2) |
5 |
(1+p)(1+0,618p+p2)(1+1,618p+p2) |
6 |
(1+0,518p+)(1+1,414p+p2)(1+1,932p+p2) |
7 |
(1+p)(1+0,445p+p2)(1+1,247p+p2)(1+1,802p+p2) |
8 |
(1+0,39p+p2)(1+1,111p+p2)(1+1,663p+p2)(1+1,902p+p2) |
9 |
(1+p)(1+0,347p+p2)(1+p+p2)(1+1,532p+p2)(1+1,879p+p2) |
10 |
(1+0,313p+p2)(1+0,908p+p2)(1+1,414p+p2)(1+1,782p+p2)(1+1,975p+p2) |
Таблица 5.2. Полиномы знаменателя фильтров Баттерворта,
нормированные относительно частоты среза на уровне -2 дБ
n |
Полином |
1 |
(1,308+p) |
2 |
(1,308+1,617p+p2) |
3 |
(1,196+p)(1,196+1,093p+p2) |
4 |
(1,143+0,818p+p2)(1,143+1,976p+p2) |
5 |
(1,113+p)(1,113+0,652p+p2)(1,113+1,707p+p2) |
6 |
(1,093+0,542p+p2)(1,093+1,479p+p2)(1,093+2,02p+p2) |
7 |
(1,08+p)(1,08+0,462p+p2)(1,08+1,296p+p2)(1,08+1,872p+p2) |
8 |
(1,069+0,403p+p2)(1,069+1,149p+p2)(1,069+1,72p+p2)(1,069+1,967p+p2) |
9 |
(1,061+p)(1,061+0,357p+p2)(1,061+1,03p+p2)(1,061+1,578p+p2)(1,061+1,936p+p2) |
10 |
(1,055+0,322p+p2)(1,055+0,933p+p2)(1,055+1,452p+p2)(1,055+1,83p+p2) (1,055+2,029p+p2) |
Таблица 5.3. Полиномы знаменателя фильтров Баттерворта,
нормированные относительно частоты среза на уровне -1 дБ
n |
Полином |
1 |
(1,965+p) |
2 |
(1,965+1,982p+p2) |
3 |
(1,569+p)(1,569+1,253p+p2) |
4 |
(1,402+0,906p+p2)(1,402+2,188p+p2) |
5 |
(1,31+p)(1,31+0,707p+p2)(1,31+,852p+p2) |
6 |
(1,253+0,58p+p2)(1,253+1,583p+p2)(1,253+2,162p+p2) |
7 |
(1,213+p)(1,213+0,49p+p2)(1,213+1,373p+p2)(1,213+1,985p+p2) |
8 |
(1,184+0,424p+p2)(1,184+1,209p+p2)(1,184+1,81p+p2)(1,184+2,07p+p2) |
9 |
(1,162+p)(1,162+0,374p+p2)(1,162+1,078p+p2)(1,162+1,651p+p2)(1,162+2,025p+p2) |
10 |
(1,145+0,335p+p2)(1,145+0,971p+p2)(1,145+1,513p+p2)(1,145+1,907p+p2) (1,145+2,113p+p2) |
Таблица 5.4. Полиномы знаменателя фильтров Баттерворта,
нормированные относительно частоты среза на уровне -0,5 дБ
n |
Полином |
1 |
(1,283+p) |
2 |
(2,863+2,392p+p2) |
3 |
(2,016+p)(2,016+1,42p+p2) |
4 |
(1,692+0,995p+p2)(1,692+2,404p+p2) |
5 |
(1,523+p)(1,523+0,763p+p2)(1,523+1,997p+p2) |
6 |
(1,42+0,617p+p2)(1,42+1,685p+p2)(1,42+2,302p+p2) |
7 |
(1,35+p)(1,35+0,517p+p2)(1,35+1,449p+p2)(1,35+2,094p+p2) |
8 |
(1,301+0,445p+p2)(1,301+1,267p+p2)(1,301+1,897p+p2)(1,301+2,169p+p2) |
9 |
(1,263+p)(1,263+0,39p+p2)(1,263+1,124p+p2)(1,263+1,722p+p2)(1,263+2,112p+p2) |
10 |
(1,234+0,348p+p2)(1,234+1,009p+p2)(1,234+1,571p+p2)(1,234+1,98p+p2) (1,234+2,194p+p2) |