8.2 Порядок расчета активных полосовых rc-фильтров
Для расчета активного полосового RC-фильтра необходимо выполнить следующие действия.
1. Проверить, необходимо ли выполнять расчет ФНЧ изображения. Если такой необходимости нет, то выбрать схему реализации и рассчитать единственное звено второго порядка ПФ. В противном случае необходимо выполнить преобразование частот и найти ФНЧ изображения. Дальнейшие расчеты производятся только для последнего случая.
2. Определить минимальный порядок ФНЧ изображения, удовлетворяющий техническому заданию на проектирование фильтра, и число звеньев фильтра изображения.
3. Вычислить нули и полюсы передаточной функции ФНЧ изображения. Для фильтров Баттерворта и Чебышева необходимо вычислить только полюсы передаточной функции.
4. Рассчитать собственные нормированные частоты, добротности и коэффициенты затухания пар комплексно-сопряжённых полюсов. Если фильтр нечетного порядка, то для звена первого порядка определяется только собственная нормированная частота.
5. Рассчитать параметры , и .
6. Выбрать схему реализации звеньев второго порядка фильтра и произвести расчет этих звеньев.
7. Проверить правильность расчета фильтра. Для этого необходимо сравнить характеристики рассчитанного фильтра с данными технического задания. Сделать это можно, промоделировав работу фильтра на компьютере, например, в программе Electronics Workbench 5.0 или Mathcad.
8.3 Пример расчета активного rc-фильтра вч
В качестве примера рассчитаем ФВЧ Чебышева для следующих характеристик АЧХ фильтра: с = 3 дБ, з = 20 дБ, fс = 2500 Гц, fз = 2000 Гц.
1. Выполняем преобразование частот и находим ФНЧ изображения.
Нормированная частота задержания ФВЧ
.
Нормированная частота задержания ФНЧ изображения
.
Коэффициенты ослабления для ФНЧ изображения берутся такими же, как для фильтра верхних частот, т.е. с = 3 дБ, з = 20 дБ.
2. Определяем минимальный порядок ФНЧ изображения, удовлетворяющий техническому заданию:
.
Округляя полученное значение в большую сторону, получаем окончательное значение n = 5. Таким образом, фильтр будет состоять из трех звеньев: двух звеньев второго порядка и одного звена первого порядка.
3. Вычисляем полюсы передаточной функции ФНЧ изображения. Из табл. 5.5 определяем полином знаменателя передаточной функции.
.
Решая уравнение D(p) = 0, получаем 5 полюсов передаточной функции:
.
4. Рассчитываем собственные нормированные частоты, добротности и коэффициенты затухания пар комплексно-сопряжённых полюсов.
Для первой комплексно-сопряжённой пары полюсов:
;
;
;
Для второй комплексно-сопряжённой пары полюсов:
;
;
.
Действительный полюс характеризуется только собственной нормированной частотой
.
В многозвенных фильтрах звенья располагаются в порядке повышения добротности. Поэтому при реализации фильтра первым необходимо установить звено с добротностью Qp2 = 2,132, а вторым – звено с добротностью Qp1 = 8,796. Звено первого порядка можно расположить последним.
5. Выбираем схему реализации звеньев второго порядка фильтра на ИНУН (схема звена показана на рисунке 6.2) и рассчитываем эти звенья.
В результате расчета имеем:
– для первого звена второго порядка:
K = 2, С1 = С2 = 4000 пФ, R1 = 11,7 кОм, R2 = 8,2 кОм, R3 = R4 = 23,4 кОм;
– для второго звена второго порядка:
K = 2, С1 = С2 = 4000 пФ, R1 = 20,9 кОм, R2 = 11,3 кОм, R3 = R4 = 41,9 кОм.
Так как фильтр нечетного порядка, то дополнительно необходимо рассчитать звено первого порядка (схема звена изображена на рисунке 6.3). После расчета имеем:
K = 2, С1 = 4000 пФ, R1 = 2,8 кОм, R2 = R3 = 56,7 кОм.
Полученные расчетные значения необходимо округлить в ближайшую сторону до значений из стандартного ряда номиналов E24. В итоге получим:
– для первого звена второго порядка:
K = 2, С1 = С2 = 3900 пФ, R1 = 12 кОм, R2 = 8,2 кОм, R3 = R4 = 24 кОм;
– для второго звена второго порядка:
K = 2, С1 = С2 = 3900 пФ, R1 = 20 кОм, R2 = 11 кОм, R3 = R4 = 43 кОм;
– для звена первого порядка:
K = 2, С1 = 3900 пФ, R1 = 2,7 кОм, R2 = R3 = 56 кОм.
6. Проверяем правильность расчета фильтра. Проверку проведем одновременно в двух программах: Electronics Workbench 5.0 и Mathcad 2000. В программе Electronics Workbench 5.0 собираем полную схему активного трехзвенного фильтра 5-го порядка и с помощью частотного характериографа (Bode Plotter) измеряем его АЧХ. На вход устройства необходимо подключить источник переменного напряжения, на выход – нагрузку. В программе Mathcad 2000 рассчитаем АЧХ фильтра, использую выражения для частотных передаточных функций звеньев второго и первого порядка, приведенные в данном пособии. АЧХ всего фильтра определяется как произведение АЧХ отдельных звеньев.
Схема моделируемого в Electronics Workbench 5.0 фильтра показана на рис. 8.1. Для проверки правильности расчета в данном примере использованы расчетные номиналы сопротивлений и емкостей (не округленные до ближайших значений из ряда E24). Расчет АЧХ в программе Mathcad 2000 произведем для тех же значений номиналов резисторов и конденсаторов.
Рис. 8.1. Схема фильтра в программе Electronics Workbench 5.0
АЧХ фильтра в широком диапазоне частот от 1 до 200 кГц по результатам моделирования в программе Electronics Workbench 5.0 показана на рис. 8.2. Для определения коэффициента передачи установлен маркер (вертикальная линия). В правом нижнем углу рисунка показаны координаты точки пересечения линии маркера и АЧХ фильтра – значение коэффициента передачи K и частота f.
Рис. 8.2. АЧХ фильтра в широком диапазоне частот по результатам моделирования
в программе Electronics Workbench 5.0
Аналогичный график, полученный путем моделирования в программе Mathcad 2000, приведен на рис. 8.3. На рисунке также показаны два маркера с числовыми подписями штриховые линии, пересекающиеся в точке f = 103,8 кГц и K = 18 дБ.
Рис. 8.3. АЧХ фильтра в широком диапазоне частот по результатам моделирования
в программе Mathcad 2000
В полосе пропускания коэффициент передачи должен быть равен произведению коэффициентов передачи отдельных звеньев
(18 дБ).
Как видно из рис. 8.2 и 8.3, на частоте 103,8 кГц коэффициент передачи с высокой точностью равен заданному значению 18 дБ.
Так как проектируемый фильтр является фильтром Чебышева, то необходимо проверить значение неравномерности коэффициента передачи.
Рис. 8.4. АЧХ фильтра с маркером для проверки неравномерности коэффициента передачи
по результатам моделирования в программе Electronics Workbench 5.0
Рис. 8.5. АЧХ фильтра с маркером для проверки неравномерности коэффициента передачи
по результатам моделирования в программе Mathcad 2000
Маркеры на рис. 8.4 и 8.5 позволяют определить, что на частоте 3,125 кГц коэффициент передачи равен 15,05 дБ, что практически совпадает с требуемым значением -3 дБ от Kmax.
На рис. 8.6, 8.7 и 8.8 показаны АЧХ фильтра с маркерами, установленными на частотах среза и задержания.
Рис. 8.6. АЧХ фильтра с маркером для проверки коэффициента передачи на частоте среза
по результатам моделирования в программе Electronics Workbench 5.0
Рис. 8.7. АЧХ фильтра с маркером для проверки коэффициента передачи
на частоте задержания по результатам моделирования в программе Electronics Workbench 5.0
Рис. 8.8. АЧХ фильтра с маркером для проверки коэффициента передачи
на частотах среза и задержания по результатам моделирования в программе Mathcad 2000
На частоте среза fc = 2,5 кГц коэффициент передачи равен 14,97 дБ при заданном значении 15 дБ, на частоте задержания fз = 2 кГц измеренное значение коэффициента передачи равно -6,14 дБ или -24,14 дБ от Kmax при заданном по техническому заданию з = 20 дБ. Так как полученное значение коэффициента ослабления выше, чем указанное в техническом задании, то можно сделать вывод о правильном расчете фильтра.
Если в схеме изменить значения сопротивлений и емкостей на номинальные значения из ряда E24, то характеристики фильтра немного изменятся. Частоты среза и задержания, неравномерность коэффициента передачи и максимальное значение коэффициента передачи в полосе пропускания будут иметь другие значения, отличающиеся от заданных значений на несколько процентов. Если подобные отклонения недопустимы, то при реализации фильтров необходимо использовать более точные номиналы резисторов и конденсаторов. Получить нужный номинал элемента в этом случае можно тремя способами:
1) использованием последовательного или параллельного соединения резисторов или конденсаторов ряда Е24,
2) использованием элементов с меньшим разбросом параметров из ряда Е48 (±2%) или ряда Е96 (±1%),
3) использованием подстроенных резисторов вместо постоянных.