5.3 Выбор минимального порядка фильтра

Расчёт активного фильтра начинается с определения минимального порядка фильтра, обеспечивающего требуемый вид АЧХ. Контролируемыми параметрами характеристики являются частоты среза f_с (_с) и задержания f_з (_з) и нормированные коэффициенты передачи (или нормированные коэффициенты ослабления) на этих частотах М_с и М_з (_с и _з).

Для фильтра Баттерворта минимальный порядок фильтра определяется по выражению

. (5.1)

При расчёте логарифмы могут быть как десятичными, так и натуральными.

Для фильтра Чебышева минимальный порядок фильтра определяется по выражению

, (5.2)

где arch () – гиперболический арккосинус.

В качестве примера рассчитаем порядок фильтра для следующих характеристик АЧХ фильтра: _с = 3 дБ, _з = 20 дБ, f_с = 1000 Гц, ширина переходной области не должна превышать 300 Гц, то есть f_з = 1300 Гц.

Как следует из выражения (5.1), минимальный порядок фильтра Баттерворта, удовлетворяющий указанным условиям, равен

Полученное значение необходимо округлить до ближайшего большего целого числа. В этом случае ослабление сигнала на частоте задержания будет превышать указанное в техническом задании. Если же n округлить в меньшую сторону, то ослабление сигнала на частоте задержания будет меньше требуемого в техническом задании, что недопустимо. Таким образом, окончательно n = 9.

Минимальный порядок фильтра Чебышева, удовлетворяющий приведённым условиям, определяется по выражению (5.2)

.

Округляя полученное значение в большую сторону, получаем n = 4.

Следующим этапом расчёта фильтра является вычисление нулей и полюсов передаточной функции. Для полиномиальных фильтров необходимо вычислить только полюсы передаточной функции. В случае чётного порядка фильтра n фильтр будет иметь только комплексно-сопряжённые полюсы. Если же порядок фильтра n нечётный, то кроме комплексно-сопряжённых полюсов будет один действительный отрицательный полюс.

Для нахождения полюсов необходимо найти корни характеристического уравнения передаточной функции фильтра. Характеристическое уравнение получается при приравнивании нулю знаменателя передаточной функции: D(p) = 0.

В качестве примера рассчитаем полюсы фильтра Чебышева 5-го порядка с неравномерностью коэффициента передачи 3 дБ.

Из табл. 5.5 находим соответствующий полином знаменателя:

.

Решая уравнение D(p) = 0, получаем 5 полюсов передаточной функции:

.

Рассчитываем собственные нормированные частоты, добротности и коэффициенты затухания пар комплексно-сопряжённых полюсов.

Для первой комплексно-сопряжённой пары полюсов:

;

;

;

Для второй комплексно-сопряжённой пары полюсов:

;

;

.

Действительный полюс характеризуется только собственной нормированной частотой

.

В многозвенных фильтрах звенья располагаются в порядке повышения добротности. Поэтому при реализации фильтра первым необходимо установить звено с добротностью Q_p2 = 2,132, а вторым – звено с добротностью Q_p1 = 8,796. Звено первого порядка можно расположить последним.

После определения характеристик звеньев можно приступать к расчёту элементов схем звеньев. Существует много способов построения активных фильтров нижних частот Баттерворта и Чебышева. В данном пособии будут рассмотрены только некоторые наиболее простые схемы реализации:

1. схемы с многопетлевой обратной связью (МОС);

2. схемы на источниках напряжения, управляемых напряжением (ИНУН).