Растрові цифрові моделі місцевості
У випадку, коли вибіркові точки розташовуються у вузлах регулярної решітки, цифрова модель рельєфу може бути побудована за допомогою растрової моделі. Як відомо, ця модель має переваги перед об'єктними моделями в простоті алгоритмів обробки і аналізу даних, зумовлені простотою організації даних. Растрові DEM є найпростішим способом представлення топографічних даних і широко поширені.
Щоб оцінити висоту довільної точки, потрібно визначити, чи лежить точка в якому-небудь вузлі мережі. Якщо так, то значення висоти обирається безпосередньо з бази даних. В іншому випадку необхідно вибрати процедуру оцінки висоти по найближчим вузловим точкам. Як грубе наближення можна використовувати висоту найближчої вузлової точки (рис. 5.1-а). При цьому значення висоти буде змінюватися стрибкоподібно.
Рисунок 5.1 – Оцінка висоти у довільній точці:
а) за найближчою вузловою точкою; б) апроксимація МНК;
в) білінійна інтерполяція
Більш
гладку поверхню можна отримати, якщо
апроксимувати значення висоти в області,
обмеженій чотирма точками мережі (рис.
5.1-б). При цьому необхідно враховувати,
що отримана методом найменших квадратів
поверхня не обов'язково проходить через
вузли решітки, отже, в отриманій поверхні
вздовж ліній, які з'єднують вузли, будуть
розриви. Будемо шукати наближення в
околиці вузлів у вигляді площини
.
Коефіцієнти
знаходяться
з системи лінійних алгебраїчних рівнянь:
.
Поверхня
без розривів (з розривом першої похідної)
можна отримати, використовуючи білінійну
інтерполяцію (рис. 5.1, в). Виберемо таку
систему координат, що
Знайдемо висоти
та
,
тоді
.
Нахил і направлення в довільній точці растрової DEM обчислюються з використанням сусідніх точок. Зазвичай використовується вікно 3x3. Нахил поверхні визначається як відношення зміни висоти до зміни горизонтального розташування і виражається у відсотках або градусах (рис. 5.2, а). Нахил вимірюється в напрямку найбільш крутої зміни висоти. Найчастіше цей напрямок не співпадає з напрямком рядків і стовпців растра (рис. 5.2, б). Для обчислення кута нахилу будемо використовувати формулу
.
Напрямок
схилу (aspect) визначається як
.
Рисунок 5.2 – Обчислення нахилу поверхні:
а) обчислення кута нахилу поверхні;
б) напрям найбільш крутого зміни висоти
Розглянемо
наступний спосіб визначення кута нахилу
поверхні в растровій комірці DEM. Обчислимо
відношення
за значеннями комірок
і
,
а
– по коміркам
і
(рис. 5.3-а). У цьому прикладі відстані між
центроїдами комірок дорівнює десяти,
тому
;
.
Звідси
кут нахилу поверхні
.
Обчислимо
напрямок схилу
.
Рисунок 5.3 – Обчислення кута нахилу поверхні в растровій комірці
по чотирьох сусіднім: а) схема обчислення; б) ядра перетворення
Обчислити
кут нахилу поверхні у всіх комірках
растрового шару можна за допомогою двох
перетворень, ядра яких наведено на рис.
5.3, б. Ці перетворення дозволяють отримати
для комірки значення, по яких обчислюється
кут нахилу. Вихідний растровий шар точок
обробляється вікном розміром 3x3. У
результаті цієї операції виходить
растровий шар, в комірках якого утримуються
значення кута нахилу, і що має розмір
.
Як бачимо на рис. 5.3, а, при визначенні
кута нахилу поверхні в растровій комірці
DEM за чотирма сусідніми не використовуються
кутові комірки вікна – z1, z3, z6, z8. Розглянемо
спосіб обчислення кута нахилу поверхні
за кінцевими різностями третього порядку
(рис. 5.4, а).
Для прикладу наведеного на рис. 5.4 отримаємо:
Звідси
кут нахилу поверхні
а
напрямок схилу
.
По растровому шару, який містить кути нахилу поверхні, може бути побудована тематична карта. Для цього задається легенда – шкала кутів нахилу з відповідними кольорами відображення. Приклад такої тематичної карти наведено на рис. 5.5, а. На фізичних картах з метою поліпшення сприйняття зображення рельєф показується з відмиванням – пластичним напівтоновим зображенням рельєфу шляхом накладення тіней.
Рисунок 5.4 – Обчислення кута нахилу поверхні в комірці по кінцевим
різностями 3-го порядку: а) схема обчислення; б) ядра перетворення
На цифрових картах такий ефект можна отримати, розфарбовуючи комірки растрової DEM відповідно до експозиції схилів. Якщо джерело освітлення розташоване на північно-заході, світлими кольорами розфарбовуються комірки з експозицією 270°-360°, темними кольорами – 90°-180°, середніми – 0°-90° і 180°-270° (рис. 5.5, б).
Рисунок 5.5 – Карти рельєфу: а) тематична карта кутів нахилу
топографічної поверхні; б) зображення рельєфу
з відмиванням по експозиції
Растрові DEM можуть використовуватися в гідрології для побудови моделей стоку, визначення вододілів річок (рис. 5.6). Напрям стоку з комірки растра визначається її висотою і висотою сусідніх комірок. При цьому можуть розглядатися всі вісім сусідів (рух королеви) або чотири сусіда по вертикалі і горизонталі (рух тури). Будемо вважати, що з даної комірки є стік на сусідню, якщо висота сусідньої комірки менше висоти інших сусідніх комірок і висоти даної комірки. У растрових DEM аналіз видимості з обчислювальної складності значно простіше. Аналіз видимості – операція обробки цифрових моделей рельєфу, що забезпечує оцінку поверхні з точки зору видимості або невидимості окремих її частин шляхом виділення зон і побудови карт видимості з деякої точки огляду або безлічі точок, заданих їх положенням у просторі (рис. 5.7, а).
Рисунок 5.6 – Використання растрових DEM в гідрології: а) напрям стоку, вододіли і дренажна мережа, розраховані на растровій сітці;
б) тематична карта дренажної мережі і вододілів
Нехай спостерігач знаходиться в комірці з висотою 100 м. Праворуч від спостерігача розташовані комірки з висотами {110; 125; 115; 160; ...}. Зрозуміло, що комірки з висотами 110, 125, 160 будуть спостерігачеві видно, а комірки з висотою 115 – ні. На рис. 5.7, б показана тривимірна модель з розрахованими для заданого положення спостерігача зонами видимості.
Рисунок 5.7 – Аналіз видимості: а) схема визначення видимості; б) приклад зон видимості для заданого положення спостерігача (білий колір)