2. Геодезичні засічки

1. Полярна засічка

У полярної засічки вихідними даними є координати точки A і дирекційний кут напрямку AB (або координати пункту B), вимірюваними елементами є горизонтальний кут β і відстань S, а невідомими елементами – координати точки P (X, Y).

Для графічного рішення полярної засічки від напрямку AB відкладається кут β і проводиться пряма AQ, а потім навколо точки A описується окружність радіусом S в масштабі карти. Точка перетину прямої лінії та кола дасть потрібну точку P. Вирішимо полярну засічку аналітично. Дирекційний кут α лінії AР дорівнює . Запишемо рівняння прямої AP та кола радіуса S з центром в точці A:

(6.1)

Рисунок 6.2 – Полярна засічка

Вирішуючи систему (6.1) методом підстановки і використовуючи відомі тригонометричні співвідношення, отримуємо однозначне рішення системи:

(6.2)

За допомогою полярної засічки вирішується пряма геодезична задача – обчислення координат точки (XB,YB), якщо відомі координати точки (XA,YA), відстань між цими точками – SAB, а дирекційний кут дорівнює α. Пряма геодезична задача вирішується за формулами:

(6.3)

Зворотня геодезична задача полягає в обчисленні дирекційного кута α і довжини лінії S, що з'єднує дві точки A і B з відомими координатами і Для отримання кута α можна обчислити кут і визначити квадрант, в який потрапляє точка . Якщо дирекційний кут , інакше .

2. Пряма кутова засічка

У випадку прямої кутової засічки у двох точках A і B з відомими координатами і вимірюються кути і , кожен від свого напрямку з відомим дирекційний кутом. Графічно рішення являє собою точку перетину двох прямих, заданих точками A і B, через які вони проходять, і кутами нахилу. Дирекційний кут обчислюється за визначеним раніше дирекційним кутом лінії AС і обмірюваному куту . Аналогічно знаходиться кут .

Вирішимо систему з двох рівнянь прямих:

(6.4)

Віднімаючи одне рівняння від іншого, після нескладних перетворень одержимо координати точки P:

(6.5)

Розглянемо приклад, представлений на рис. 6.3.

Рисунок 6.3 – Пряма кутова засічка

На рис. 6.3. координати точки A – (400,100), дирекційний кут на точку P, яку визначаємо дорівнює . Точка B має координати , а дирекційний кут на точку P – дорівнює . Використовуючи формулу (6.5), визначимо координати точки P – .

3. Лінійна засічка

У лінійній засічці вимірюються відстані і до точки, яка визначається від двох точок A і B з відомими координатами і . Графічно рішення знаходиться як точка перетину кола з центром у точці А радіусом та кола з центром в точці B радіусу . Цих точок перетину кіл виходить дві – P-ліва і P-права (рис. 6.4). Потрібна точка вибирається по розташуванню (ліворуч або праворуч) відносно прямої напрямку AB.

Рисунок 6.4 – Лінійна засічка

Для аналітичного рішення лінійної засічки вирішимо зворотню геодезичну задачу між точками A і B: визначимо дирекційні кути і , а також відстань b між точками A і B. Обчислимо кути і , скориставшись теоремою косинусів:

(6.6)

Далі потрібно знайти дирекційні кути сторін AP і BP. Якщо точка, яку визначаємо розташована праворуч від лінії AB, то , . Якщо точка, яку визначаємо розташована ліворуч від лінії AB, то , . Тепер для визначення координат точки P можна вирішити пряму геодезичну задачу з точки A на P і з точки B на P. Отримані два рішення повинні співпасти. У прикладі на рис. 6.4 дирекційний кут , кут , кут , а відстань між точками A і B – 141,42 м. Вирішуючи пряму геодезичну задачу від точки A, одержимо координати точки P – (457, 227).