5. Умови відображення поверхні еліпсоїда (сфери) на площині

Картографічні проекції за характером спотворень можуть бути рівнокутні, рівновеликі та довільні (у окремих випадках еквідистанційні). При отриманні цих проекцій необхідно домогтися, щоб їх рівняння задовольняли відповідним умовам відображення.

Рівнокутними проекціями називають такі, в яких відсутні перекручування кутів і азимутів лінійних елементів, тобто в яких одночасно виконується дві умови:

- картографічні сітки цих проекцій повинні бути ортогональними;

- в кожній точці проекції, часткові масштаби довжин не повинні залежати від напрямів, за якими вони визначаються.

Ці умови мають вигляд або (умова Коші-Рімана).

Рівновеликими проекціями називаються такі, в яких площі S і зазначених областей на поверхні еліпсоїда (сфери) і на площині тотожний рівні (пропорційні). У цих проекціях повинно бути або , або .

Еквідистанційними називаються проекції, що зберігають довжини по одному з головних напрямків. Найбільш часто до них відносять проекції з ортогональною картографічною сіткою, в яких зберігаються довжини або вздовж меридіанів, або вздовж паралелей.

6. Спотворення картографічних проекцій

Найважливішим фактором вибору та використання картографічних проекцій є величини і характер спотворень використовуваних проекцій. Їх аналіз дозволяє оцінити достоїнства розглянутих проекцій і використовувати отримані дані для вирішення ряду практичних і наукових завдань.

Зазвичай наголошується, що на картах мають місце два види спотворень:

• спотворення довжин у всіх проекціях кутів і площ (крім, відповідно, рівнокутних і рівновеликих проекцій), що виникають із-за змін часткових масштабів у точках проекцій і дають характеристику відображень в цих точках;

• спотворення в довжинах кінцевих прямолінійних відрізків і кутах між ними, а також у азимутах цих напрямків, що виникають при виконанні вимірювань на картах через кривизну зображення геодезичний ліній. Геометричну інтерпретацію спотворення дає поняття про еліпсі спотворення (рис. 8.4, 8.5).

Рисунок 8.4 – Нескінченно малі коло Рисунок 8.5 – Схема побудови

і трапеція на еліпсоїді еліпса спотворень

У загальному випадку нескінченно мале коло на поверхні еліпсоїда (сфери) зображається на площині нескінченно малим еліпсом. В окремих випадках, а саме в рівнокутних (конформних) і напівконформних проекціях, в яких часткові масштаби довжин вздовж меридіанів і паралелей рівні , нескінченно мале коло на поверхні еліпсоїда (сфери) зображається на площині подібним нескінченно малим колом.

Відзначимо, що для геометричної інтерпретації спотворень зручніше використовувати не нескінченно малі, а скінченні величини. Виходячи з цього, еліпсом спотворень або індикатриси Тіссо назвали еліпс скінченних розмірів (наприклад, при радіусі кола R = 1), відповідний отриманому на площині нескінченно малому еліпсу.

Якщо за рис. 8.4, 8.5 визначити кути і v між головними напрямками на поточні точки на еліпсоїді та площини і позначити через найбільшу їх різницю , то найбільші спотворення кутів проекції визначаються формулами:

де – екстремальні часткові масштаби довжин.

Спотворення довжин на проекції характеризуються трьома показниками. Розрізняють відносні спотворення довжин в даній точці проекції з даного напрямку; відносні спотворення довжин в даній точці за всіма напрямками і середньоквадратичні (середньоарифметичні) величини спотворень в межах всієї області, яка зображується.

Міри відносних спотворень довжин в даній точці за даним напрямком приймають такі величини:

Всі ці величини різняться між собою лише малими другого або більш високих порядків малості щодо самих їх величин.

За загальну міру відносних спотворень довжин в даній точці за всіма напрямами беруть формули, запропоновані різними вченими:

– критерій Ейрі;

– критерій Ейрі-Каврайського;

– критерій Йордану;

– критерій Йордану-Каврайського;

– критерій Конусової, за допомогою якого оцінюється або задається характер спотворень проекцій:

– для рівнокутні проекцій;

– для рівновеликих проекцій;

- для проекцій довільних за характером спотворень.

Крім зазначених, для оцінки достоїнств картографічних проекцій були також запропоновані і використовувалися інші критерії (Клінгача, Вебера, Ейзенлора, Фролова та ін.)

Зауважимо, що для проекцій з ортогональною картографічною сіткою у всіх зазначених критеріях екстремальні часткові масштаби « » і « » приймають значення часткових масштабів довжин вздовж меридіанів m і вздовж паралелей n. Величини спотворень довжин у межах всієї області, яка зображується, оцінюються за допомогою критеріїв мінімаксного або варіаційного типів.

Критерієм мінімаксного типу є критерій П.Л. Чебишева, згідно з яким для проекції, яка досліджується, визначається відношення найбільшого значення часткового масштабу довжин до найменшого значення . При використанні критеріїв варіаційного типу для проекції, яка розглядається, визначається значення одного з функціоналів

де обчислюється за одним із зазначених критеріїв і їм аналогічним.

Спотворення площ визначаються з виразу .

Рисунок 8.6 – Азимут і дирекційний кут

Слід зазначити, що при розробці проекцій, якщо домагатися усунення спотворень площ, то приблизно вдвічі збільшиться спотворення кутів і навпаки.

При виконанні вимірювання азимутів (кутів) (рис. 8.6) і довжин відрізків по карті, крім зазначених спотворень, виникає ще спотворення в азимутах (кутах) і довжинах через кривизну зображення на картах геодезичних ліній. Ці величини спотворень (поправок) при використанні карт, складених у рівнокутних проекціях можна визначити за формулами:

де – кривизна зображення розглянутої лінії в початковій (першій) точці, яка визначається за формулою:

де – радіус кривизни паралелі; – частковий масштаб довжин в першій точці; – азимут напряму лінії ; – хорда лінії .

Визначення величин цих спотворень, особливо при використанні нерівнокутних проекцій, представляє певні труднощі.