- •§1. Комплексные числа и действия над ними
- •1.Понятие комплексного числа. Действия над комплексными числами
- •2. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
- •3. Комплексная плоскость как метрическое пространство
- •§2.Последовательности комплексных чисел. Предел последовательности
- •§3. Расширенная комплексная плоскость
- •§4. Функции комплексного переменного
- •1. Комплексно-значные функции действительной переменной
- •2. Кривые на комплексной плоскости
- •3.Функции комплексного переменного
- •§5. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •1. Предел функции комплексного переменного
- •2.Непрерывность функции комплексного переменного
- •§6. Геометрическая интерпретация функции комплексного переменного
- •§7.Дифференцирование функции одной комплексной переменной
- •1.Производная функции комплексной переменной
- •2. Необходимые и достаточные условия
- •3. Понятие аналитической функции
- •4. Гармонические функции
- •5. Восстановление аналитической функции
- •6. Геометрический смысл аргумента и модуля производной
- •7. Понятие о конформном отображении
- •§8. Простейшие элементарные функции комплексной переменной
- •1. Линейная функция
- •2. Дробно-линейная функция
- •3.Многочлен
- •4. Показательная функция
- •5. Тригонометрические функции
- •6. Гиперболические функции
- •7. Области однолистности аналитических функций. Обратные функции
- •8. Степенная функция и радикал
- •9. Логарифмическая функция
- •10. Общие степенная и показательная функции
- •§9. Интегрирование функций комплексного переменного
- •1.Понятие интеграла
- •2.Вычисление интеграла от функции комплексного переменного
- •3.Основные свойства интеграла от функции комплексного переменного
- •§10. Интегральная теорема Коши
- •§11. Первообразная
- •§12. Интегральная формула Коши и ее следствия
- •1. Интегральная формула Коши
- •2. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции
- •3. Теорема Морера
- •4. Теорема о среднем
- •5. Принцип максимума модуля аналитической функции
5. Восстановление аналитической функции
по заданной действительной или мнимой части
Теорема 6. Для заданной функции u(x,y), гармонической в односвязной области G, существует бесконечное множество аналитических в G функций, действительной частью которых является u(x,y). Все они выражаются формулой
и отличаются между собой на чисто мнимую постоянную .
Доказательство.
Пусть дана гармоническая функция u(x,y). Для нахождения аналитической функции f(z)=u(x,y)+iv(x,y) необходимо найти мнимую часть v(x,y), которая дифференцируема в G и связана с u(x,y) условиями Коши – Римана:
, .
Так как u(x,y) известна, то известны её частные производные. Обозначим
,
Тогда условия Коши – Римана запишутся в виде:
. (9)
Т.к. u гармоническая функция, то она имеет непрерывные производные второго порядка, следовательно, существуют и непрерывны в G. Тогда уравнение Лапласа для функции u примет вид
. (10)
Т.к. непрерывны в G и удовлетворяют условию (10), то выражение P(x,y)dx+Q(x,y)dy является полным дифференциалом некоторой функции v0(x,y):
dv0(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy
и ,
где интеграл по кривой, соединяющий точки (x0,y0) и (x,y) в , не зависит от пути интегрирования. Имеем . Надо найти функцию v(x,y) удовлетворяющую условиям (9). Следовательно,
.
Учитывая обозначения, получим
. (11)
Следовательно, функция f(z)= u(x,y)+iv(x,y), где v(x,y) определяется соотношением (11), является аналитической функцией (u и v-дифференцируемы и связаны условиями Коши-Римана). Итак, .
Аналогично можно показать, что для любой функции v(x,y), гармонической на области G существует аналитическая в G функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y), мнимая часть которой равна v(x,y). Эта функция определяется с точностью до постоянного слагаемого .
Пример. Выяснить, существует ли аналитическая функция f(z), такая, что Ref(z)=u(x,y)=exsiny.
∆ Выясним, является ли u(x,y) гармонической:
- непрерывны на и .
С ледовательно, u – гармоническая функция на .
Найдем v(x,y) из условий Коши-Римана
, .
,
причем в качестве точки (x0,y0) можно взять любую точку плоскости, например (0;0). Получим
.
Тогда
, .
6. Геометрический смысл аргумента и модуля производной
I. Геометрический смысл аргумента производной
1 ) Пусть z=λ(t) – комплексная функция действительной переменной от t, t[α,β]. Она определяет непрерывную кривую L: z=λ(t)=x(t)+iy(t), t[α,β]. Пусть существует λ(t0), для некоторого t0[α,β]. Покажем, что тогда в точке z0=λ(t0) кривой L, существует касательная T, причем угол θ между T и Ox совпадает с Arg λ(t0). Проведем секущую Р через точки z0=λ(t0) и z1=λ(t1)L.
z0=x0+iy0, где z1=x1+iy1, где
Угол между Р и Ох: . Рассмотрим вектор
Следовательно, .
Значит, направление секущей совпадает с направлением вектора. Поэтому секущая имеет предельное положение, если угол между и Ох, равный , имеет предел при tt0. Т.к. , то .
Итак, если z=λ(t) – комплексно-значная функция действительной переменной имеет производную в некоторой точке t0, то она имеет касательную в точке z0=λ(t0). При этом угол наклона касательной к оси Ох равен аргументу производной.
2 )Пусть w=f(z)-аналитическая в некоторой области G функция, причем f(z0)≠0, z0 G.
Проведем через точку z0G кривую L: z=λ(t), t[α,β], z0=λ(t0), для которой λ(t0)≠0, тогда по п.1 в точке z0 существует касательная с углом наклона Argλ(t0). При отображении w=f(z) кривая L перейдет в кривую Λ, расположенную в плоскости uOv. Λ: w=f(λ(t))=μ(t), α≤t≤β, μ(t0)=f(z0)=w0. По правилу дифференцирования сложной функции существует (t0)=f(z0)λ(t0)≠0. Следовательно, и у кривой Λ в точке w0=f(z0) существует касательная, причем угол между касательной и осью Ох равен:
Arg(t0)=Arg[f(z0)λ(t0)]=Argf(z0)+Argλ(t0). Отсюда
Arg μ(t0)-Argλ(t0)=Argf(z0) - (*)
на эту величину изменяется угол наклона касательной при переходе от кривой L к кривой Λ.
Итак, геометрический смысл аргумента производной состоит в следующем: аргумент производной в точке z0 равен углу поворота касательной к кривой L в точке z0 при переходе к её образу Λ и к точке w0=f(z0).
Р ассмотрим теперь две кривые L1 и L2 проходящие через точку z0. Обозначим через φ1 и φ2 углы наклона касательных к ним в точке z0. Образами кривых L1 и L2 являются кривые Λ1 и Λ2 с углами наклона в точке w0=f(z0) ψ1 и ψ2. Из (*) следует Argf(z0)=ψ1-φ1=ψ2-φ2, следовательно, ψ1-ψ2=φ1-φ2.
Таким образом, отображение w=f(z), где f(z) аналитическая в точке z0 функция и f(z0)≠0 сохраняет углы между кривыми, проходящими через точку z0, при этом сохраняется не только величины, но и направление отсчета.
II.Геометрический смысл модуля производной
Лемма. Если существует , то существует .
Доказательство.
f(z)=u(x,y)+iv(x,y), A=a+ib, z0=x0+iy0.
.
Пусть f(z)-аналитическая в некоторой области G и в некоторой точке z0G f(z0)≠0. При отображении w=f(z) точка z0L переходит в точку w0=f(z0)Λ, любая точка zL переходит в точку w=f(z)Λ, ∆z=z-z0, ∆w=f(z)-f(z0)=w-w0.
Т . к. существует , то по лемме . Следовательно, |∆w|=|f(z0)||∆z|+o(|∆z|). Зафиксируем достаточно малое число ρ>0. Рассмотрим окружность |z-z0|=ρ или |∆z|=ρ. Функция w=f(z) окружность |z-z0|=ρ (|∆z|=ρ) отобразит на кривую |∆w|=|f(z0)|ρ+(). Она мало отличается от окружности |∆w|=|f(z0)|ρ, т.е. отображение w=f(z) с точностью до бесконечно малого более высокого порядка, чем ∆z, растягивает окрестность точки z0 в раз.
называется коэффициентом растяжения кривой в точке z0 при отображении w=f(z). Коэффициент не зависит от вида кривой и равен |f(z0)|. При k>1 происходит растяжение, а при k<1 сжатие.
Итак, модуль производной f(z0) геометрически можно рассматривать как растяжение окрестности точки z0 при отображении посредством функции w=f(z).
Таким образом, если функция f(z) аналитическая в точке z0 и f(z0)≠0, то все кривые, проходящие через точку z0, при отображении w=f(z) поворачиваются на один и тот же угол Arg f(z0) и получают одно и то же растяжение с коэффициентом |f(z0)|.