- •§1. Комплексные числа и действия над ними
- •1.Понятие комплексного числа. Действия над комплексными числами
- •2. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
- •3. Комплексная плоскость как метрическое пространство
- •§2.Последовательности комплексных чисел. Предел последовательности
- •§3. Расширенная комплексная плоскость
- •§4. Функции комплексного переменного
- •1. Комплексно-значные функции действительной переменной
- •2. Кривые на комплексной плоскости
- •3.Функции комплексного переменного
- •§5. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •1. Предел функции комплексного переменного
- •2.Непрерывность функции комплексного переменного
- •§6. Геометрическая интерпретация функции комплексного переменного
- •§7.Дифференцирование функции одной комплексной переменной
- •1.Производная функции комплексной переменной
- •2. Необходимые и достаточные условия
- •3. Понятие аналитической функции
- •4. Гармонические функции
- •5. Восстановление аналитической функции
- •6. Геометрический смысл аргумента и модуля производной
- •7. Понятие о конформном отображении
- •§8. Простейшие элементарные функции комплексной переменной
- •1. Линейная функция
- •2. Дробно-линейная функция
- •3.Многочлен
- •4. Показательная функция
- •5. Тригонометрические функции
- •6. Гиперболические функции
- •7. Области однолистности аналитических функций. Обратные функции
- •8. Степенная функция и радикал
- •9. Логарифмическая функция
- •10. Общие степенная и показательная функции
- •§9. Интегрирование функций комплексного переменного
- •1.Понятие интеграла
- •2.Вычисление интеграла от функции комплексного переменного
- •3.Основные свойства интеграла от функции комплексного переменного
- •§10. Интегральная теорема Коши
- •§11. Первообразная
- •§12. Интегральная формула Коши и ее следствия
- •1. Интегральная формула Коши
- •2. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции
- •3. Теорема Морера
- •4. Теорема о среднем
- •5. Принцип максимума модуля аналитической функции
3. Комплексная плоскость как метрическое пространство
На множестве метрика задаётся следующим образом:
ρ(z1,z2)=|z1-z2|, z1,z2 .
Так как |z1-z2|= , то метрика в совпадает с метрикой в . В метрическом пространстве естественным образом вводятся характерные для метрического пространства понятия окрестности, внутренней, внешней, граничной, предельной точки, открытого, замкнутого, ограниченного множества, области и другие.
§2.Последовательности комплексных чисел. Предел последовательности
Пусть {zn}: z1, z2, …, zn, … - последовательность комплексных чисел.
Определение. Комплексное число z0 называется пределом числовой последовательности {zn}, если ρ(zn ,z0)=|zn-z0| 0.
Это можно записать следующим образом:
ε>0 N : n>N |zn-z0|<ε.
Геометрический смысл. Точка z0 является предельной точкой последовательности {zn}, если какой бы малый круг радиуса ε с центром в точке z0 ни взять, всегда можно указать номер N, начиная с которого все члены последовательности лежат в этом круге.
Определение. Если последовательность {zn} имеет конечный предел, то она называется сходящейся.
Теорема 1. .
Доказательство.
1) Пусть . Тогда ε>0 N :n>N выполнено |zn-z0|<ε.
Так как |Re(zn-z0)|≤|zn-z0|<ε, то , отсюда .
Так как |Im(zn-z0)|≤|zn-z0|<ε, то , отсюда .
2) Пусть и .
По определению ε>0 N1 : n>N1 |Rezn–Rez0|=|Re(zn-z0)|< ,
ε>0 N2 : n>N2 |Imzn–Imz0|=|Im(zn-z0)|< .
Пусть N=max{N1,N2}. Тогда n>N для выбранного ε>0
|zn-z0|<|Re(zn-z0)|+|Im(zn-z0)|< , следовательно .
Пример 1. ∆ а) ; .
б) . Т.к. не существует, то не существует. ∆
Для решения вопроса о сходимости { zn} можно рассмотреть вместо последовательностей {Rezn} и {Imzn} так же последовательности {|zn |} и {arg zn}. Рассмотрим в начале пример.
Пример 2. .
∆ По теореме 1 . Покажем, что, однако, {arg zn} – расходится.
Если n=2k, то . Следовательно, .
Если n=2k+1, то . Следовательно, .
, . Следовательно, не существует.
Итак, из того, что , в общем случае не следует, что . Но и здесь можно найти сходящуюся последовательность {Arg zn }, сходящуюся к Arg z =π . Обозначим через φn значение Arg zn , заключённое между 0 и 2π: 0<φn<2π. Тогда, очевидно, , . Следовательно, .
Итак, для значения Arg z=π существует последовательность {Arg zn } сходящаяся к π. ∆
Теорема 2. Пусть {zn} - последовательность комплексных чисел.
1) Если и , то .
2) Если , то
а) ,
б) если z0, то φ =Arg z φn={Arg zn }: . В частности, если , то .
Доказательство.
1) Так как , то
, .
Тогда по теореме 1 .
2) а) Так как , то по теореме 1 .
Тогда .
б) Пусть и φ – какое-либо значение Arg z. Тогда, начиная с некоторого N, все члены последовательности {zn} будут лежать внутри угла, образованного лучами, наклоненными под углами φ- и φ+ к оси ОХ и содержащего точку z. Поэтому для аргументов ArgzN+1, Arg zN+2 ,… можно выбрать значения φN+1, φN+2,… так, чтобы выполнялось условие |φN+n–φ| .
В озьмем также φ1=Arg z1, φ2=Arg z2,...,φN=ArgzN. Тогда получим последовательность φn. Покажем, что .
ε: 0ε N1(ε)≥N такой, что точки последовательности {zn }, для которых nN1(ε), будут лежать внутри угла, образованного лучами, наклоненными к оси ОХ под углами φ-ε и φ+ε и содержащего точку z. Для них значения φn удовлетворяет условию: φ–εφnφ+ε |φn-φ|ε .
Отметим, что если , то в качестве φ и φn можно выбрать главные значения аргументов, тогда получим .
Следствие. .
Теорема 3 (критерий Коши сходимости последовательности комплексных чисел).
Для того, чтобы последовательность комплексных чисел {zn} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы ε>0 N : n>N, m выполнялось |zn+m–zn|<ε.
Доказательство.
1) Пусть . Тогда ε>0 N : n>N выполняется |zn–z|< .
Тогда |zn+m–zn|=|zn+m–z+z-zn|≤|zn+m–z|+|zn–z|< + =ε m .
2) Пусть ε>0 N : n>N, m выполняется |zn+m–zn|<ε. Тогда |Re(zn+m–zn)|=|Rezn+m –Rezn|<ε и |Im(zn+m–zn)|=|Imzn+m–Imzn|<ε. Следовательно, последовательности действительных чисел {Rezn и {Imzn фундаментальные. Согласно критерию Коши сходимости последовательности действительных чисел они сходятся (последовательность фундаментальна тогда и только тогда, когда она сходится). То есть и Тогда по теореме 1 . Следовательно, {zn } сходится.