§11. Первообразная

Если f(z) аналитическая в односвязной области D функция, то, как было установлено, значение , взятого по любой кусочно – гладкой кривой LD, не зависит от вида кривой, а определяется лишь начальной и конечной точками кривой. Поэтому для интеграла вдоль произвольной кусочно – гладкой кривой L, соединяющей точки z₀ и z, используют обозначение , где z₀ и z называются соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.

Зафиксируем z₀, тогда зависит только от точки z, т.е. является однозначной функцией, определённой на D, т.е. .

Теорема 1. Пусть f(z)-функция, непрерывная в области D, для которой интеграл вдоль любой кусочно – гладкой кривой LD не зависит от вида кривой, а определяется только начальной и конечной точками кривой. Тогда является аналитической на D функцией и F'(z)=f(z) .

Доказательство.

Пусть L D-кусочно-гладкая кривая, соединяющая точки z₀ и z. Выберем ∆z≠0 так, чтобы z+∆z D.

.

. (1)

Т.к. , то

. (2)

Интегралы (1) и (2) не зависят от пути интегрирования, поэтому в качестве пути от z до z+∆z можно взять прямолинейный отрезок, соединяющий эти точки. Из (1) и (2) следует:

. (3)

Зафиксируем >0. Так как f(z) непрерывна на D, то для любой точки z D выполнено

 . (4)

В равенстве (3) . Следовательно, . Поэтому если , то , значит, выполнено (4).

Тогда из (3) следует

.

Таким образом, .

По определению это означает, что ,

то есть F'(z)=f(z) .

Замечание 1. Теорему 1 можно было сформулировать следующим образом:

если f(z) аналитическая в области D функция, то - аналитическая функция и F'(z)=f(z), где интеграл берётся по любой кусочно-гладкой кривой, соединяющей точки z₀ и z.

Действительно, если f(z) – аналитическая функция, то не зависит от пути интегрирования.

Определение. Функция F(z) называется первообразной для функции f(z) на области G, если F'(z)=f(z) .

Из определения следует, что если F(z) первообразная для f(z) на D, то и функция F(z)+C является первообразной для f(z) на D ( ).

Следовательно, если выполнены условия теоремы 1, то функция f(z) имеет первообразную.

Теорема 2. Если f(z)-аналитическая на односвязной области D, и F(z), (z)-две первообразные для f(z) на D, то справедливо F(z)-Φ(z)=С=const.

Доказательство.

Пусть F(z) и Φ(z) - две первообразные функции f(z) на D. Рассмотрим функцию w(z)=F(z)-Φ(z) , w(z)=u(x,y)+iv(x,y).

Тогда w(z)=F'(z)-Φ'(z)=f(z)-f(z)=0 .

Так как , то и .

Так как w(z) - аналитическая функция, то и .

Итак, ,  u=aconst,

,  v=bconst.

Тогда w(z)=a+ibconst.

Значит, F(z)-Φ(z)=С.

Следствие 1. Если f(z)-аналитическая на односвязной области D, то любая её первообразная имеет вид

, где . (5)

Следствие 2. Положим в (5) z=z₀, тогда C=F(z₀).Заменяя в (5) C на F(z₀) получим:

- формула Ньютона-Лейбница.

Таким образом, интеграл от аналитической функции комплексной переменной вычисляется с помощью тех же методов и формул, что и в случае функции действительной переменной.

Пример 1. Вычислить , где L–дуга окружности |z|=2 от точки z₁=2 до точки z₂=2i.

 f(z)=z² – аналитическая в , на . Следовательно, по формуле Ньютона-Лейбница:

. 

Пример 2.  .