2. Кривые на комплексной плоскости

Пусть дана непрерывная комплексно-значная функция

z=λ(t), t[α,β]. (1)

В этом случае на комплексной плоскости задана непрерывная кривая z=λ(t), t[α,β] (это общее уравнение кривой).

Параметрическое уравнение кривой на комплексной плоскости:

Кривая (1) является упорядоченным множеством точек комплексной плоскости, ориентированным в направлении возрастания параметра t. Направление движения точки z вдоль кривой в направлении возрастания параметра t называется положительным.

Точка а=λ(α) – начало, а b=λ(β) – конец кривой.

Кривая (1), у которой начальная и конечная точка совпадают, называется замкнутой.

Кривая называется гладкой, если λ(t) непрерывно дифференцируема на [α,β] и на [α,β]. При этом если кривая замкнутая, то должно выполняться .

Гладкая кривая во всех точках имеет касательную.

Кривая называется кусочно-гладкой, если λ(t) непрерывна, и кривую можно разбить на конечное число гладких кривых. Кусочно-гладкая кривая спрямляема и её длина равна .

Пример. Получим комплексное уравнение окружности с центром в точке (a,b) и радиуса R.

Δ Параметрические уравнения:

Тогда z=λ(t)=x+iy=a+Rcost+i(b+Rsint)=a+ib+R(cost+isint).

Обозначим z₀=a+ib. По формуле Эйлера e^it=cost+isint. Тогда

z=z₀+Re^it, - уравнение окружности с центром в точке z₀=(a,b) и радиусом R на комплексной плоскости. Δ

3.Функции комплексного переменного

Определение. Функцией комплексной переменной называется отображение f некоторого подмножества D комплексной плоскости во множество .

f: D → .

При этом множество D называется областью определения функции f. Обозначается w=f(z).

w – образ точки z при отображении f, z – прообраз точки w при отображении f.

Пусть . Образом множества E при отображении f является .

Тогда f(D) называется множеством значений функции f. Для функции комплексной переменной вводят понятие инъективности, сюрьективности и биективности отображения, как и для функции действительной переменной.

Примеры.

Δ 1) w=|z|, w=z²+i, w=Rez, w=Imz. Областью определения всех этих функций является .

2) , D(w)= \ . Δ

Пусть . Положим z=x+iy, w=u+iv, x, y, u, v .

Значение w зависит от x,y. Следовательно, функции u, v зависят от x и y, то есть u=u(x,y), v=v(x,y) – действительные функции двух действительных переменных. Таким образом, любой функции комплексной переменной соответствует пара действительных функций двух действительных переменных. Верно и обратное: любой паре действительных функций двух действительных переменных можно сопоставить функцию f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y). Функция u(x,y) называется действительной частью, v(x,y) – мнимой частью функции w=f(z).

Примеры.

Δ 1) f(z)=|z|. Пусть z=x+iy. Тогда

f(z)=|x+iy|= .

2) w=f(z)=z², z=x+iy, w=(x+iy)²=x²-y²+i2xy Ref(z)=x²-y², Imf(z)=2xy.

3) Найти функцию комплексной переменной (в виде w=f(z)), действительные и мнимые части которой соответственно равны:

,

w=f(z)=f(x+iy)= .

Следовательно, . 

Если каждому z соответствует лишь одно значение w=f(z), то функция называется однозначной (w=|z|, w= , w=Rez и т.д.) Если некоторым z соответствует более чем одно значение w, функция называется многозначной ( - n-значная функция, w=Argz – бесконечно - значная функция).