9. Логарифмическая функция

Как было сказано, множество всех корней уравнения w=e^z (w ) представляется формулой

z=ln|w|+iArgw=ln|w|+i(argw+2k)), .

Значит, функция, обратная к z=e^w=e^u(cosv+isinv), определена z0, z и задается формулой

w=ln|z|+iArgz.

Эта функция многозначная (бесконечнозначная), называется логарифмической и обозначается Lnz:

w=Lnz=ln|z|+iArgz=ln|z|+i(аrgz+2k).

Назовем значение логарифма ln|z|+iargz главным значением и обозначим через lnz:

lnz=ln|z|+iargz.

Тогда Lnz=lnz+2ki, .

Следовательно, любое комплексное число z0, z имеет бесконечное множество логарифмов (значений логарифмической функции), из которых любые два отличаются на целое кратное 2i. Если , то Lnz=ln|z| . Но для этих существует еще бесконечно много значений логарифма. Например, Ln2=ln2+2ki, .

Все логарифмы комплексного числа z имеют одну и ту же действительную часть ln|z|, а мнимые части отличаются на кратное 2. Следовательно, все логарифмы комплексного числа z расположены на комплексной плоскости на одной прямой параллельной оси Оy на расстоянии 2 друг от друга.

Пример. Ln1=ln1+2ki=2ki, .

Свойства логарифмической функции

1 Ln(z₁ z₂)=Lnz₁+Lnz₂.

Ln(z₁ z₂)=ln|z₁ z₂|+i Arg(z₁ z₂)=ln|z₁|+ln|z₂|+i(Argz₁+Argz₂)=Lnz₁+Lnz₂.

2 .

.

Замечание. Эти равенства означают равенство множеств (в том смысле, что множества состоят из одних и тех же элементов). Отсюда следует что, например, Lnz² 2Lnz

Например, Ln(-1)²=Ln1=2ki,

2Ln(-1)=2(+2k)i=i(2+4k),

Ln(-1)² 2Ln(-1): 4i Ln(-1)², но 4i2Ln(-1).

Чтобы выделить однозначные ветви функции w=Lnz, надо выделить области однолистности функции z=e^w. Ими являются полосы шириной 2, паралельные действительной оси:

_Dk : v₀+2kπ<Imw<v₀+2(k+1)π, .

Функция z=expw однозначна на D_k, следовательно, здесь она имеет однозначначную обратную функцию w=(Lnz)_k многозначной функции w=Lnz. При отображении z=expw прямая v=с переходит в луч z=exp(u+iv)=e^u(cosc+sinc), расположенный под углом С к действительной оси. Если прямая v=с проходит область _Dk от v₀+2kπ до v₀+2(k+1)π, то луч сделает полный оборот вокруг начала координат. Следовательно ,образом полосы _Dk является область G -угол раствора 2, границей которого служит луч, расположенный под углом v₀ к действительной оси.

О бычно берут v₀=-. Тогда, например w=lnz переводит плоскость (z) с разрезом вдоль отрицательной части действительной оси в полосу D₀: -<Imw<.

Следовательно, в области G получаем бесконечное множество различных однозначных ветвей функции w=Lnz. Каждая из w=(Lnz)_к характеризуется тем, что её значения принадлежат полосе D_k.

Так как w=(Lnz₎к задает взаимно-однозначное отображение области G на полосу D_k и обратная функция z=e^w имеет в _Dk производную z=e^w0 wD_k, то

.

Точками разветвления функции Lnz являются z=0 и z= Так как, описывая окружность вокруг начала координат сколько угодно раз в одном направлении, мы будем получать всё новые ветви: (Lnz)_k+1, (Lnz)_k+2,… , то мы никода не вернемся к исходной ветви (Lnz)_k. Поэтому точки z=0 и z= являются точками разветвления бесконечного порядка.