2. Необходимые и достаточные условия

дифференцируемости функции комплексной переменной

Теорема 3. Пусть функция определена в некоторой области G. Для того, чтобы функция f(z) была дифференцируемой в точке z области G необходимо и достаточно, чтобы

1. функции u(x;y) и v(x;y) были дифференцируемы в точке z как функции двух действительных переменных;

2. в точке z выполнялись равенства

и . (1)

При выполнении всех условий теоремы производная может быть представлена в одном из следующих видов:

. (2)

Равенства (1) называются условиями Коши-Римана (или Даламбера-Эйлера).

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть функция f(z) дифференцируема в точке z области G. Тогда по теореме 1 ее приращение может быть представлено в виде

, где .

- комплексная функция от z. Следовательно, , где . - комплексное число, значит, , a,b . Тогда

f(z)=u+iv=(a+ib)(x+iy)+(₁+i₂)(x+iy)=ax-by+i(ay+bx)+

+₁x-₂y+i(₁y+₂x)=(ax-by+₁x-₂y)+i(ay+bx+₁y+₂x).

Отсюда

u=ax-by+₁x-₂y,

v=bx+ay+₂x+₁y, где . (3)

Из (3) следует, что

1) функции u(x;y) и v(x;y) дифференцируемы в точке (x;y),

2) их частные производные в точке (x;y):

, ,

, .

Отсюда , , т.е. удовлетворяют условиям Коши-Римана.

Тогда для производной получаем:

.

2) Достаточность.

Пусть в точке z области G выполнены условия 1) и 2) теоремы. Придадим точке z=(x;y) приращение z=x+iy0. По условию

где . (4)

Приращение функции , соответствующее приращению , имеет вид: . Разделим на :

. Используя условия Коши-Римана, перейдём к частным производным по x:

. (5)

Т.к. , , и , то и (огр.БМФ).

Следовательно, переходя в (5) к , получим:

, т.е. f(z) дифференцируема в точке z.

Формулами (2) можно пользоваться для вычисления производных.

Пример 1. f(z)= .

_ u(x,y)= , v(x,y)=2xy - дифференцируемы на .

,

условия Коши-Римана выполнены на .

Значит, функция дифференцируема на и

. 

Замечание. Если функция задана в виде w=f(z) и её дифференцируемость можно установить, пользуясь основными правилами дифференцирования, то нет необходимости использовать теорему 3.

Пример2. Доказать, что функция дифференцируема только в точке и найти

_ - дифференцируемы в любой точке .

Но и, следовательно, условия Коши – Римана выполняются только в точке z=0, поэтому функция дифференцируема только в этой точке и . 

Часто используются условия дифференцируемости функций комплексного переменного, выраженные в полярных координатах r и .

Теорема 4. Пусть функция определена в некоторой области G. Для того чтобы функция f(z) была дифференцируема в некоторой точке необходимо и достаточно, чтобы:

1) u и v являлись дифференцируемыми функциями от r и ,

2) их частные производные удовлетворяли соотношениям:

. (6)

Доказательство.

1) Пусть f(z) дифференцируема в точке . Так как f(z)=u(x,y)+iv(x,y), u(x,y) и v(x,y) дифференцируемы как функции двух переменных x и y (по теореме 3), а дифференцируемы как функции двух переменных r и , то функции и дифференцируемы как сложные функции от r и .

Покажем теперь, что выполнены условия (6).

По правилу дифференцирования сложной функции двух переменных:

,

, .

Используя условия (1), получим:

.

Следовательно, условия (6) выполнены.

2) ( ) Пусть функции и дифференцируемы в точке . Тогда так как и дифференцируемы в этой точке, то и функции дифференцируемы в точке . Следовательно, выполняется условие 1) теоремы 3. Покажем, что выполнено и условие 2) теоремы 3. Для этого надо показать, что из (6) следует (1).

Имеем, .

Значит, .

А также из условия имеем .

Отсюда .

Итак, выполнены условия 1) и 2) теоремы 3. Следовательно, функция f(z) дифференцируема в точке .