§3. Расширенная комплексная плоскость

Дополним множество элементом ∞, который называют бесконечностью. Элементу ∞ поставим в соответствие бесконечно удаленную точку на комплексной плоскости.

Определение. ε – окрестностью точки ∞ называется внешность круга с центром в точке О(0;0) и радиуса ε: |z|>ε.

Определение. ε>0 N : n>N выполняется |z_n|>ε.

Геометрически это означает, что ε, сколь угодно большого, все члены последовательности {z_n }, начиная с некоторого номера N, лежат вне круга с центром в точке (0;0), радиуса ε, то есть в окрестности точки ∞.

Из определения следует, что условие эквивалентно условию . Присоединяя к множеству элемент ∞, получим расширенное множество комплексных чисел .

Комплексная плоскость, дополненная бесконечно удаленной точкой, называется расширенной комплексной плоскостью. Бесконечно удаленная точка, как и нулевая, не имеет аргумента. Не определены также понятия действительной и мнимой части точки ∞. Многие свойства бесконечно больших последовательностей действительных чисел сохраняются и в :

1) a±∞=∞, 3) a∞=∞ (а0), 5) ,

2) ∞+∞=∞, 4) ∞∞=∞, 6) (а0).

Ч тобы получить наглядное изображение расширенной комплексной плоскости, рассмотрим сферу S, касающуюся комплексной плоскости в точке О. Обозначим через Р точку сферы, диаметрально противоположную точке О. Каждой точке z комплексной плоскости поставим в соответствие точку М сферы, которая является пересечением сферы S и прямой, соединяющей точки Р и z. Таким образом, мы получаем взаимно-однозначное соответствие между точками комплексной плоскости и точками сферы с выколотой точкой Р (т. к. точке Р не соответствует ни какая конечная точка плоскости ).

Рассмотрим последовательность {z_n} комплексных чисел: z_n ∞. Каждой точке z_n этой последовательности соответствует точка М_n сферы. Очевидно М_n Р. Поэтому точку Р принимают за изображение бесконечно удаленной точки (т.е. точке ∞ соответствует точка Р сферы).

Построенное взаимно-однозначное соответствие между точками расширенной комплексной плоскости и точками сферы S называется стереографической проекцией, а сфера S – сферой Римана. Таким образом, комплексные числа расширенной комплексной плоскости можно изобразить точками сферы. Преимущество в том, что наглядно изображается точка ∞.

§4. Функции комплексного переменного

1. Комплексно-значные функции действительной переменной

Определение. Комплексно-значной функцией действительной переменной называется функция z=(t), областью определения которой является некоторое подмножество пространства , а значениями – комплексные числа:

(t)=φ(t)+i(t), где φ(t)=Re(t), (t)=Im(t).

Многие свойства и определения, справедливые для действительных функций переносятся на комплексно-значные функции.

Определение. Если  и  , то  .

Справедливы теоремы о пределе суммы, произведения, разности, частного.

Определение. Функция λ(t) непрерывна в точке t₀, если в этой точке непрерывны функции φ(t) и ψ(t).

Определение. Если φ'(t) и ψ'(t) в точке t₀, то λ'(t)= φ'(t)+iψ'(t) в этой точке.

Определение. .

Если функция λ(t) непрерывна на [α,β], то она интегрируема на [α,β].

Комплексно-значная функция z=λ(t), t[α,β] отображает отрезок [α,β] на некоторое множество точек комплексной плоскости, которые можно считать графиком этой функции. Если λ(t) непрерывна, то графиком является некоторая кривая на плоскости.