10. Общие степенная и показательная функции

Введем понятие степени с произвольным показателем.

Пусть а0 –произвольное число. Если , то, как известно

aⁿ=|a|ⁿ(cos(nArga)+isin(nArga)),

если , где и - несократимая дробь, то

,

где - единственное действительное положительное значение степени числа |a|.

Пусть  - иррациональное число. Зафиксируем =Arga и рассмотрим последовательность {r_n} рациональных чисел, сходящуюся к  тогда

.

Это значение примем за одно из значений степени a^. Чтобы получить остальные значения, будем придавать Arga различные значения. Так как два различных значения Arga отличаются на 2k, а это число не может быть целым кратным 2 (так как  - иррациональное число), то все значения a^, соответствующие различным значениям Arga различны.

Итак, если , то

), (21)

Причем, если , то получаем одно значение, если ,то q значений, и если  - иррациональное число, то бесконечное множество значений.

Пусть . Формулу (21) можно записать в виде:

a^=e^ln|a|(cos(Arga)+isin(Arga))=exp(ln|a|+iArga)=

=exp((ln|a|+iArga))=exp(Lna).

Определение. Пусть . Степенью комплексного числа а называется

a^= exp(Lna).

Замечание. Для степени с произвольным показателем, вообще говоря,

1) , 2) .

,

.

С другой стороны, . Значит, в общем случае .

Пример.  Покажем, что

,k=0,1.

, ,

тогда

.

С другой стороны, . Множества в правых и левых частях не равны. 

Определение. Степенной функцией комплексной переменного называется функция вида

f(z)= =exp(Lnz), . (22)

Она определена вообще . Степенная функция в общем случае (но не всегда!) многозначна. Если , то –конечнозначна ( -значна), если , то- бесконечнозначна.

Каждому значению независимой переменной z соответствует счетное множество значений степени z^. Если справа в (22) брать одну определенную ветвь Lnz,то будем получать соответствующие ветви степенной функции. Например, .

Отдельные ветви, т.е. однозначные функции являются аналитическими функциями на комплексной плоскости с разрезом вдоль отрицательной действительной полуоси. По правилу производной сложной функции:

.

Например, .

Определение. Функция вида

, (24)

где , , называется общей показательной функцией.

Эта функция многозначна в силу многозначности Lna. Чтобы получить определенную однозначную ветвь, надо фиксировать одно из значений .

Пусть ,тогда , .

При , т.е. когда берем главное значение Lne, получим , т.е. это значение совпадает с изученной нами функцией .

Зафиксируем функции одно из значений логарифма: . Тогда мы получим однозначную ветвь функции и можем рассмотреть обратную к ней функцию. Получим

.

Так как , то w можно рассматривать как логарифм z по основанию a.

Определение. Логарифмом произвольного комплексного числа по некоторому основанию a ( -комплексное число) называется

,

где в знаменателе стоит одно фиксированное значение Lna.