7. Понятие о конформном отображении

Определение. Отображение w=f(z) называется конформным (т.е. сохраняет форму) в точке , если оно сохраняет углы между кривыми и обладает свойством постоянства растяжения окрестности точки.

Как мы установили, всякое отображение, устанавливаемое посредством аналитической функции f(z) является конформным во всех точках, где .

Определение. Отображение называется конформным в области, если оно конформно в каждой точке этой области.

Определение. Конформное отображение, при котором направление отсчета углов сохраняется, называется конформным отображением Ι рода. Конформное отображение, при котором направление отсчета углов меняется на противоположное, называется конформным отображением ΙΙ рода (например ).

Можно показать, что всякое отображение, устанавливаемое с помощью функции, значения которой является сопряженными со значениями аналитической функции, есть конформное отображение ΙΙ рода ( ), где f(z)- аналитическая функция).

Если функция w=f(z) аналитическая в точке и , то отображение с помощью функции w=f(z) может и не быть конформным отображением в точке .

Пример 1.  .

Р ассмотрим 2 кривые ₁ и ₂, проходящие через точку z₀=0, углы наклона касательных в точке z₀=0:

,

, 0< < < ,

.

При отображении w=z² они перейдут в кривые с углом наклона в точке :

,

,

, т.е. в точке не сохраняется угол между кривыми. Следовательно, в этой точке отображение w=z² не является конформным. 

Пример 2.  Рассмотрим отображение , при . . Следовательно, отображение конформно . Например, в точке z=2 , , , . Значит, кривые, проходящие через точку z=2 не поворачиваются и растягиваются в 9 раз. Если z=i, то , , . Следовательно, кривые, проходящие через т. z=i поворачиваются на угол и растягиваются в 6 раз. 

§8. Простейшие элементарные функции комплексной переменной

1. Линейная функция

Определение. Линейной функцией называется функция вида

, (1)

где а, b- комплексные постоянные.

Эта функция определена , . Следовательно, если ,то линейная функция производит конформное отображение всей плоскости комплексного переменного. При этом касательные ко всем кривым поворачиваются на один и тот же угол Arga, а растяжение во всех точках равно . Если a=1, то , значит, растяжение и поворот отсутствуют. В этом случае получаем w=z+b. Это отображение осуществляет сдвиг всей плоскости на вектор .

В общем случае, переходя к показательной форме записи комплексного числа , получим . Следовательно, линейное отображение является композицией трех геометрических преобразований:

- поворот на угол вокруг точки О;

- подобие с коэффициентом r;

- параллельный перенос на вектор .

Подойдем с другой стороны. Найдем число с, такое что . Отсюда, т.к. , то . Значит, при (и ) отображение (1) сводится к повороту всей плоскости вокруг точки на угол с последующим растяжением относительно этой точки в раз, (т.е. подобие с центром в точке и коэффициентом подобия ).