- •§1. Комплексные числа и действия над ними
- •1.Понятие комплексного числа. Действия над комплексными числами
- •2. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
- •3. Комплексная плоскость как метрическое пространство
- •§2.Последовательности комплексных чисел. Предел последовательности
- •§3. Расширенная комплексная плоскость
- •§4. Функции комплексного переменного
- •1. Комплексно-значные функции действительной переменной
- •2. Кривые на комплексной плоскости
- •3.Функции комплексного переменного
- •§5. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •1. Предел функции комплексного переменного
- •2.Непрерывность функции комплексного переменного
- •§6. Геометрическая интерпретация функции комплексного переменного
- •§7.Дифференцирование функции одной комплексной переменной
- •1.Производная функции комплексной переменной
- •2. Необходимые и достаточные условия
- •3. Понятие аналитической функции
- •4. Гармонические функции
- •5. Восстановление аналитической функции
- •6. Геометрический смысл аргумента и модуля производной
- •7. Понятие о конформном отображении
- •§8. Простейшие элементарные функции комплексной переменной
- •1. Линейная функция
- •2. Дробно-линейная функция
- •3.Многочлен
- •4. Показательная функция
- •5. Тригонометрические функции
- •6. Гиперболические функции
- •7. Области однолистности аналитических функций. Обратные функции
- •8. Степенная функция и радикал
- •9. Логарифмическая функция
- •10. Общие степенная и показательная функции
- •§9. Интегрирование функций комплексного переменного
- •1.Понятие интеграла
- •2.Вычисление интеграла от функции комплексного переменного
- •3.Основные свойства интеграла от функции комплексного переменного
- •§10. Интегральная теорема Коши
- •§11. Первообразная
- •§12. Интегральная формула Коши и ее следствия
- •1. Интегральная формула Коши
- •2. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции
- •3. Теорема Морера
- •4. Теорема о среднем
- •5. Принцип максимума модуля аналитической функции
8. Степенная функция и радикал
Определение. Степенной называется функция вида .
Если , то . Следовательно,
- многолистная функция.
, при . Следовательно, -аналитическая в функция.
Функция обладает основными свойствами функции действительного переменного:
.
Найдем области однолистности функции . Выберем произвольные ,
С ледовательно, областью однолистности функции будет любой угол с вершиной в начале координат и раствором :
Если , то
.
Рассмотрим радикал - функцию обратную к функции . Пусть т.е. , тогда
.
Следовательно, радикал имеет n различных значений, которые выражаются формулой
Следовательно, функция является многозначной (n – значной). Эти n значений располагаются в вершинах правильного n – угольника, вписанного в окружность . При и получаем по одному значению функции и .
Чтобы выделить однозначную ветвь, достаточно указать, в какой области однолистности изменяется w. Мы установили выше, что областью однолистности функции является угол с вершиной в начале координат и раствором :
Любой луч плоскости ( ) при отображении переходит в луч плоскости (z): . Если луч пробегает область против хода часовой стрелки, то луч пробежит всю плоскость (z) от до . Следовательно, любая из областей однолистности перейдет в одну и ту же область плоскости (z): угол раствора 2π, границей которой служит луч .
Т аким образом, в области получаем n однозначных ветвей функции Каждая из них определяется условием, что ее значения принадлежат области . Будем обозначать эти ветви .
Т.к. имеет отличную от нуля производную во всех точках , то обратные функции имеют отличные от нуля производные:
.
Зафиксируем какое-либо значение . Пусть точка z описывает в плоскости (z) некоторую кривую, содержащую внутри начало координат. Тогда после полного обхода Argz изменится на 2π (увеличится, если – против хода часовой стрелки и уменьшится, если по ходу). Следовательно, значение в первом случае перейдет от к ( перейдет в ), а во втором - от к ( перейдет к ).
Определение. Точка, обладающая тем свойством, что обход вокруг нее переводит от одной ветви многозначной функции к другой, называется точкой разветвления этой функции.
Таким образом, точка z=0 – точка разветвления для функции . Так как полный поворот от одной ветви многозначной функции к другой на угол 2 является в тоже время и полным оборотом вокруг точки z= (то есть обход по окружности бесконечно большого радиуса с центром в начале координат), то z= - тоже точка разветвления.
Итак, многозначная функция имеет 2 точки разветвления: z=0 и z=.
Если после n-кратного обхода вокруг точки разветвления вновь возвратимся к исходной ветви, но говорят, что эта точка является точкой разветвления (n-1)-го порядка. Следовательно, z=0 и z= - точки разветвления (n-1)-го порядка функции .