4. Показательная функция

Задача. Найти аналитическую функцию комплексного переменного f(z)=u(x,y)+iv(x,y), удовлетворяющую условиям и f(0)=u(0,0)+iv(0,0) (аналогично имеем для функции e^x действительного переменного: (e^x)=e^x, e⁰=1).

Так как и функция аналитическая, то есть удовлетворяет условиям Коши-Римана , , то получаем

, .

Имеем:

-дифференцируемая функция.

Аналогично:

- дифференцируемая функция.

Тогда . (13)

Найдём и :

; .

Отсюда получим

Т.е. и удовлетворяют дифференциальному уравнению вида ( линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами). Его решение имеет вид . Учитывая начальные условия, получим:

Т.к. то

Т.к то

Тогда из (13) получим .

Искомая функция найдена. Она называется показательной функцией и обозначается expz (читается «экспонента z»).

.

Свойства expz

1 Если , то expz=expx=e^x, т.е. на действительной оси показательная функция комплексного переменного совпадает с показательной функцией действительного переменного.

2

.

С другой стороны,

.

Следовательно, .

Аналогичное свойство имеет место для функции действительного переменного: .

Назовём комплексное число z показателем функции expz. Следовательно, при перемножении двух значений показательной функции показатели можно складывать. В связи с этим можно вместе с обозначением expz использовать обозначение e^z: .

3 Из свойства 2 следует . С другой стороны . Следовательно,

.

4 _.

.

Т.к. , то _.

.

5 expz -периодическая функция с основным периодом 2i, т.е.

exp(z+2i)=expz.

.

Покажем что 2i -основной период функции expz, т.е. любой другой период имеет вид 2ki,где .

Действительно, пусть - период expz. Тогда exp(z+w)=expz z. Значит и при z=0 это равенство выполнено.

Для z=0: . Отсюда

что и требовалось доказать.

6 Если так, что ,то .

Если так, что , то .

(6 следует из того, что ).

Выражение лишено смысла. Отсюда, в частности, следует, что expz не совпадает ни с одним многочленом . Целые функции, отличные от многочленов, называются трансцендентными целыми функциями. Следовательно expz - трансцендентная целая функция.

7 Показательная функция является аналитической на _, (expz)=expz.

Отображение expz

Согласно свойству 4 значение w=0 не принимается ни при каком z. Следовательно, начало координат плоскости (w) не принадлежит к образу конечной плоскости (z).

Покажем, что принадлежит к образу плоскости (z). Так как

то прообразом точки w могут быть только точки . Их бесконечно много, т.к. Argw имеет бесконечное множество значений, и каждая из этих точек есть прообраз точки w.

.

Итак, множество корней уравнения имеет вид .

Итак, функция expz отображает конечную плоскость (z) на плоскость (w), из которой исключена точка w=0, причём отображение не взаимно-однозначно (доопределить expz в точке нельзя, т.к. не существует ). Так как , то отображение конформно в .

Прямая x=с (z=c+it) переходит в - окружность с центром в точке(0;0), радиусом e^c. Если t изменяется от до , то окружность описывается бесконечно много раз в положительном направлении.

П рямая y=с (z=t+ic) переходит в -луч, выходящий из точки (0;0) и образующий с положительной частью действительной оси . Если t изменяется от до , то луч пробегает один раз от начала координат до .

Следовательно, при отображении совокупность прямых, параллельных мнимой оси, переходит в совокупность окружностей с центром в начале координат, а совокупность прямых, параллельных действительной оси, - в совокупность лучей, выходящих из начала координат.

И так, при отображении декартова сетка координат на плоскости (z) переходит в полярную сетку координат на плоскости (w).Функция expz полосу шириной , параллельную действительной оси, отображает на угол раствора h с вершиной в начале координат.

Рассмотрим прямую y=kx+b, не параллельную осям координат.

– параметрические уравнения;

– комплексное уравнение.

Образ: .

, .

Исключим параметр t: .

определён с точностью до целого кратного 2. Обозначим . Тогда .

Следовательно, (где ) – уравнение логарифмической спирали.

Т. к. прямая y=kx+b пересекает прямые, параллельные оси Ох под углом, равным , то логарифмическая спираль пересекает под теми же углами лучи, выходящие из точки (0,0) (образы тех прямых) в силу конформности отображения.