§9. Интегрирование функций комплексного переменного
1.Понятие интеграла
Пусть
на комплексной плоскости
задана кривая L,
которая является простой и гладкой,
т.е.
,
причем
а)
функции x(t)
и y(t)
непрерывно дифференцируемы на [,]
и
(гладкая кривая),
б) различным значениям параметра t соответствуют различные точки кривой L (простая кривая).
Точки z() и z()- начало и конец кривой L. Если z()=z(), то кривая называется замкнутой.
П
усть
на кривой
(т.е.
в каждой ее точке) определена функция
комплексного переменного f(z).
Пусть
T-
произвольное разбиение кривой L
точками
,
взятыми в порядке возрастания параметра
t,
на частичные дуги
.
Обозначим через
длину дуги
.
На каждой частичной дуге
выберем произвольную точку
.
Обозначим
,
,
.
Составим интегральную сумму для функции f(z) по кривой L,соответствующую данному разбиению T и выбору точек :
. (1)
Определение.
Если
существует конечный предел интегральной
суммы (1) при
(или
при
),
не зависящий ни от способа разбиения
T
кривой L,
ни от выбора точек
,
то этот предел называется интегралом
от функции f(z)
по кривой L
и обозначается
.
Таким
образом,
.
В этом случае функция f(z) называется интегрируемой по кривой L.
Теорема
1 (достаточное
условие существования интеграла от
функции комплексного переменного).
Пусть L
– простая гладкая кривая на
,
f(z)=u(x;y)+iv(x;y)
непрерывна на L.
Тогда существует
,
причем справедливо равенство:
. (2)
Доказательство.
Выберем
произвольно разбиение T
кривой L
на дуги
,
на каждой
выберем произвольно точку
.
Составим интегральную сумму
.
Выделим в
действительную и мнимые части:
z=x+iy,
f(z)=u(x;y)+iv(x;y),
,
,
,
,
.
Тогда
. (3)
В правой
части (3) стоят интегральные суммы для
криволинейных интегралов II
типа двух действительных функций u(x;y)
и v(x;y).
Если
и
,
то и
(или
).
Т.к. L – гладкая кривая, а функции u(x;y) и v(x;y) непрерывны на L, то
и 
.
Тогда существует предел при левой части (3), т.е. существует .
Переходя в (3) к пределу при , получим (2).
2.Вычисление интеграла от функции комплексного переменного
Пусть вначале f(t)=u(t)+iv(t) –комплексно-значная функция действительной переменной. Тогда интеграл от f(t) по отрезку [a;b] определяется следующим образом:
.
Рассмотрим теперь интеграл от функции комплексного переменного по кривой L.
Теорема 2.Пусть L – простая гладкая кривая, заданная параметрически:
L:
z(t)=x(t)+iy(t),
t,
функция f(z)
непрерывна на L.
Тогда справедливо равенство:
(где
).
Доказательство.
Т.к. выполнены условия теоремы 1, то имеет место равенство (2) . Каждый криволинейный интеграл II типа можно заменить по формуле, сводящей его вычисление к вычислению обычного определенного интеграла:
=
.
Пример
1. Вычислить
,
L:
-
окружность радиуса r
с центром в точке (0;0).
L: (
)
– простой гладкий замкнутый контур.
Тогда
.
Пример
2. Вычислить
,
где L
– произвольная гладкая кривая
z(t)=x(t)+iy(t),
,
.
=
.
Таким образом, интеграл не зависит от кривой L, а зависит только от начальной и конечной точек.
Если
z()=z(),
т.е. L
– замкнутая кривая, то
.
Если
,
то
.