- •§1. Комплексные числа и действия над ними
- •1.Понятие комплексного числа. Действия над комплексными числами
- •2. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
- •3. Комплексная плоскость как метрическое пространство
- •§2.Последовательности комплексных чисел. Предел последовательности
- •§3. Расширенная комплексная плоскость
- •§4. Функции комплексного переменного
- •1. Комплексно-значные функции действительной переменной
- •2. Кривые на комплексной плоскости
- •3.Функции комплексного переменного
- •§5. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •1. Предел функции комплексного переменного
- •2.Непрерывность функции комплексного переменного
- •§6. Геометрическая интерпретация функции комплексного переменного
- •§7.Дифференцирование функции одной комплексной переменной
- •1.Производная функции комплексной переменной
- •2. Необходимые и достаточные условия
- •3. Понятие аналитической функции
- •4. Гармонические функции
- •5. Восстановление аналитической функции
- •6. Геометрический смысл аргумента и модуля производной
- •7. Понятие о конформном отображении
- •§8. Простейшие элементарные функции комплексной переменной
- •1. Линейная функция
- •2. Дробно-линейная функция
- •3.Многочлен
- •4. Показательная функция
- •5. Тригонометрические функции
- •6. Гиперболические функции
- •7. Области однолистности аналитических функций. Обратные функции
- •8. Степенная функция и радикал
- •9. Логарифмическая функция
- •10. Общие степенная и показательная функции
- •§9. Интегрирование функций комплексного переменного
- •1.Понятие интеграла
- •2.Вычисление интеграла от функции комплексного переменного
- •3.Основные свойства интеграла от функции комплексного переменного
- •§10. Интегральная теорема Коши
- •§11. Первообразная
- •§12. Интегральная формула Коши и ее следствия
- •1. Интегральная формула Коши
- •2. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции
- •3. Теорема Морера
- •4. Теорема о среднем
- •5. Принцип максимума модуля аналитической функции
3. Понятие аналитической функции
Определение. Функция f(z) называется аналитической (голоморфной, регулярной, правильной) в точке , если она дифференцируема в каждой точке некоторой окрестности точки .
Заметим, что необходимо различать понятие дифференцируемости в точке и понятие аналитичности в точке:
f(z) дифференцируема в точке ,
f(z) аналитическая в точке
Определение. Функция f(z) называется аналитической в области G, если она дифференцируема в каждой точке этой области. Т.е. понятия дифференцируемости и аналитичности в области совпадают.
Примеры.
1) - аналитическая на .
2) аналитическая на .
3) аналитическая на .
4) нигде не является аналитической, так производная существует только в точке (см. пример 2 п.2).
4. Гармонические функции
Определение. Дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка называется уравнением Лапласа.
Обозначим тогда -краткая запись уравнения Лапласа.
Определение. Действительная функция двух действительных переменных называется гармонической на области G, если она имеет непрерывные частные производные второго порядка и на G удовлетворяет уравнению Лапласа.
Определение. Две гармонические функции, связанные условиями Коши – Римана, называются сопряжёнными гармоническими функциями.
Позже будет доказано, что производная аналитической функции сама является аналитической функцией. Используем этот факт при доказательстве следующей теоремы.
Теорема 5. Для того чтобы функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y) была аналитической в области G необходимо и достаточно, чтобы её действительная и мнимая часть были сопряжёнными гармоническими функциями.
Доказательство.
1) Пусть f(z)=u(x,y)+iv(x,y) аналитическая в некоторой области G. Тогда по теореме 2 u(x,y) и v(x,y)-дифференцируемые функции двух действительных переменных и удовлетворяют условиям Коши – Римана:
.
Производная может быть представлена в одном из видов:
или .
Так как производная аналитической функции является аналитической функцией, то и тоже дифференцируемые функции двух действительных переменных и удовлетворяют условиям Коши – Римана.
Применим к паре функций и первое условие Коши– Римана, а для функций и - второе:
, ,
, (7) , (8)
т.е. u и v удовлетворяют уравнению Лапласа.
Покажем, что u(x,y) и v(x,y) имеют непрерывные частные производные второго порядка. Т.к. f(z) - аналитическая функция, то -тоже аналитическая функция.
Дифференцируя по x, получим .
Из (7), (8) .
Дифференцируя по y, получим ,
т.е. является аналитической функцией и может быть представлена в одном из видов:
.
Значит, все частные производные второго порядка являются (по теореме 2) дифференцируемыми в области G функциями, следовательно, они непрерывны.
Итак, u(x,y) и v(x,y) имеют в G непрерывные частные производные второго порядка, удовлетворяют уравнению Лапласа и условиям Коши – Римана. Значит, они являются сопряжёнными гармоническими функциями.
2. Пусть u(x,y) и v(x,y) какие – либо сопряжённые гармонические в области G функции. Так как они дифференцируемы и удовлетворяют условиям Коши – Римана, то по теореме 2 функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y) является дифференцируемой в G и, следовательно, она аналитическая в G. .
Из теоремы 5 следует, что действительной или мнимой частью аналитической функции может быть только гармоническая функция.
Например, не существует аналитической функции f(z), у которой Действительно, функция не является гармонической ни в какой области G.
, , , .
. Следовательно, только на прямой (не является областью). Значит, u(x,y) не является гармонической ни в какой области G из .