3. Теорема Морера

Согласно теореме Коши если f(z)-аналитическая на односвязной области D, то она непрерывна на D и для любого кусочно–гладкого замкнутого контура LD . Справедливо и обратное утверждение.

Теорема (Морера). Если f(z) непрерывна в односвязной области D, и вдоль любого кусочно–гладкого замкнутого контура LD , то f(z) – аналитическая в D.

Доказательство.

 Равенство нулю интеграла по любому кусочно–гладкому замкнутому контуру LD означает, что вдоль любой кривой, соединяющей точки z₀ и z не зависит от вида кривой. Как было доказано, функция является аналитической в D, причём F(z)=f(z). Но по предыдущей теореме f(z)-аналитическая функция, так как является производной аналитической функции. 

Определение. Функция f(z) непрерывная на односвязной области D, называется аналитической на D, если по любому кусочно–гладкому замкнутому контуру LD.

4. Теорема о среднем

Теорема. Значение аналитической функции f(z) в центре круга равно среднему арифметическому её значений на окружности этого круга, то есть, если z-z₀r круг, лежащий в области G, f(z)-аналитическая в G, то

. (10)

 z=z₀+re^i, ([0,2])-уравнение окружности С с центром в точке z₀, радиуса r.

По интегральной формуле Коши

. 

5. Принцип максимума модуля аналитической функции

Теорема. Модуль функции f(z),аналитической в некоторой области G и не равной тождественно константе, не может иметь максимума ни в одной точке этой области.

Доказательство.

 Обозначим и предположим противное:  точка z₀G: f(z₀)=M. Из формулы (10) следует

. (11)

Так как , а f(z₀)=M, то из (11) следует, что .

Д ействительно, если допустить, что при некотором значении =₀ , то в силу непрерывности функции f(z) неравенство будет выполняться для любого  из достаточно малого промежутка ₀-₀+, а вне этого промежутка . Значит, в этом случае правая часть неравенства (11) должна быть меньше M , а левая часть равна M (f(z₀)=M). Этого быть не может. Следовательно, если в некоторой точке z₀ f(z₀)=M, то и в достаточно малой её окрестности |z-z₀|<r .

П окажем теперь, что f(z)=M всюду в области G. Пусть z₁- произвольная точка области G. Соединим точку z₀ с точкой z₁ непрерывной линией L, целиком лежащей в G. Обозначим через d расстояние от L до границы области G. Круг с центром в произвольной точке кривой L радиусом принадлежит области G. Следовательно, по доказанному f(z)=M всюду внутри круга с центром в точке z₀ радиуса : . Пусть центр этого круга непрерывно перемещается по L от точки z₀ к точке z₁. Равенство f(z)=M должно выполняться всё время внутри круга, каково бы ни было положение центра круга. Следовательно, в частности f(z₁)=M. Так как z₁ - произвольная точка области G, то это означает, что f(z)=M всюду в области G.

Покажем теперь, что в этом случае f(z)const.

- аналитическая функция.

, следовательно, по условиям Коши-Римана получим, что . Следовательно, vconst. Значит, и ln(f(z))const. Поэтому f(z)const в G.

Получили противоречие с условием. Следовательно, предположение неверно, и аналитическая функция, не может иметь максимума модуля ни в одной точке области G. 

Замечание. Из доказанного принципа следует, что если f(z)- аналитическая в области G и непрерывная в замкнутой области , то максимум модуля достигается на границе области G при условии, что f(z) const. В самом деле, так как f(z)- непрерывная функция, то в замкнутой области она принимает наибольшее значение в некоторой точке z₀ .Так как точка z₀ не может лежать в области G (по доказанной теореме), то она расположена на границе области G.

1