§5. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
1. Предел функции комплексного переменного
Пусть f(z) – однозначная функция, определённая на некотором множестве E и z0 – предельная точка этого множества.
Определение
1 (по
Коши). Комплексное число A
называется пределом
функции
f(z)
в
точке
z0,
если
выполнено
.
Обозначается
.
Определение
2
(по Гейне). Комплексное число A
называется пределом
функции
f(z)
в точке
z0,
если
выполнено
.
Определение
3
(в терминах окрестностей). Комплексное
число A
называется пределом
функции
f(z)
в
точке
z0,
если
выполнено
.
Определение
3 является общим, то есть справедливо
и в том случае, когда
,
и когда
(напомним, что окрестностью точки
является
).
Теорема.
Для того, чтобы функция
имела в точке z0=x0+iy0
предел
,
необходимо и достаточно, чтобы
.
Доказательство.
1)
Необходимость. Пусть
.
По определению
выполнено
.
.
Следовательно,
и
.
Значит,
для выбранного
и
.
Это означает что
.
2) Достаточность. Пусть .По определению:
выполнено
,
выполнено
.
Пусть
.
.
Следовательно,
.
Из этой теоремы следует, что все основные теоремы теории пределов функции действительных переменных (о пределе суммы, разности, произведения, частного, сложной функции) переносятся на случай функций комплексного переменного.
Пример.
Найти
.
.
Тогда
,
.
.
2.Непрерывность функции комплексного переменного
Пусть
w=f(z)
определена в
.
Определение
1.
Функция
называется непрерывной
в точке
z0,
если
.
Последнее
условие равносильно:
.
Обозначим
.
Тогда получим эквивалентное определение.
Определение
2.
Функция f(z)
называется
непрерывной
в точке
z0,
если
,
то есть бесконечно малому приращению
аргумента соответствует бесконечно
малое приращение функции.
Определение 3. Функция f(z) называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке области D.
Теорема.
Функция
непрерывна в точке z0=x0+iy0
тогда и только тогда, когда u(x,y)
и v(x,y)
непрерывны в точке (x0,y0).
Доказательство следует из теоремы о пределе и определения непрерывности.
Многие свойства непрерывных функций переносятся с действительной области на комплексную (в частности, теорема о непрерывности суммы, разности, произведения, частного функций и сложной функции).
Например, справедливы следующие утверждения.
1) Если
функции f(z)
и g(z)
непрерывны в точке z0,
то функции fg,
fg,
также непрерывны в точке z0.
2) Если функция f(z) непрерывна в точке z0, то |f(z)| непрерывна в точке z0.
3) Если функция t=g(z) непрерывна в точке z0, а функция w=f(t) непрерывна в точке t0=g(z0), то сложная функция w=f((g(z)) непрерывна в точке z0.
4) Если
функция f
непрерывна на ограниченной и замкнутой
области D,
то она на этой области ограничена:
.
5) Если функция непрерывна на замкнутой ограниченной области D, то её модуль |f| имеет на D наибольшее и наименьшее значение.
Примеры.
1) а)
f(z)=z
непрерывна в любой точке z0
,
так как
.
б)
f(z)=a,
непрерывна на
.
2)
непрерывна на
.
3)
непрерывна на
,
кроме точек, в которых Qm(z)=0.
4)
так как u,v
непрерывны на
,
то по теореме f(z)
непрерывна
на
.
5)
непрерывны
на
.
Пусть
.
Так как f(z)=z
непрерывна, то
в
.
Следовательно,
непрерывна
в z0.
6)
.
.
непрерывна
в любой точке z0
0,
такой что
.
П
усть
z0
0,
такая, что
.
Тогда
.
Если
,
то функция в точке z0
разрывна.
Действительно,
.
Так как
односторонние пределы в точке z0
не
равны, то
в точке z0:
argz0=π
не существует.