- •§1. Комплексные числа и действия над ними
- •1.Понятие комплексного числа. Действия над комплексными числами
- •2. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
- •3. Комплексная плоскость как метрическое пространство
- •§2.Последовательности комплексных чисел. Предел последовательности
- •§3. Расширенная комплексная плоскость
- •§4. Функции комплексного переменного
- •1. Комплексно-значные функции действительной переменной
- •2. Кривые на комплексной плоскости
- •3.Функции комплексного переменного
- •§5. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •1. Предел функции комплексного переменного
- •2.Непрерывность функции комплексного переменного
- •§6. Геометрическая интерпретация функции комплексного переменного
- •§7.Дифференцирование функции одной комплексной переменной
- •1.Производная функции комплексной переменной
- •2. Необходимые и достаточные условия
- •3. Понятие аналитической функции
- •4. Гармонические функции
- •5. Восстановление аналитической функции
- •6. Геометрический смысл аргумента и модуля производной
- •7. Понятие о конформном отображении
- •§8. Простейшие элементарные функции комплексной переменной
- •1. Линейная функция
- •2. Дробно-линейная функция
- •3.Многочлен
- •4. Показательная функция
- •5. Тригонометрические функции
- •6. Гиперболические функции
- •7. Области однолистности аналитических функций. Обратные функции
- •8. Степенная функция и радикал
- •9. Логарифмическая функция
- •10. Общие степенная и показательная функции
- •§9. Интегрирование функций комплексного переменного
- •1.Понятие интеграла
- •2.Вычисление интеграла от функции комплексного переменного
- •3.Основные свойства интеграла от функции комплексного переменного
- •§10. Интегральная теорема Коши
- •§11. Первообразная
- •§12. Интегральная формула Коши и ее следствия
- •1. Интегральная формула Коши
- •2. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции
- •3. Теорема Морера
- •4. Теорема о среднем
- •5. Принцип максимума модуля аналитической функции
6. Гиперболические функции
Определение. Гиперболический косинус ,
гиперболический синус . (19)
Свойства chz и shz
1 Для chz=chx и shz=shx.
2 ch(-z)=chz и sh(-z)=-shz.
3 chz=cos(iz) и shz=-isin(iz) (20)
(или sin(iz)=ishz)
,
.
4 Из (20) следует .
5 chz и shz аналитические в
6 chz и shz - периодические с периодом .
Вернемся к sinz и cosz.
Определим их действительные, мнимые части и модули.
Покажем, что и - неограниченные функции.
,
.
Отсюда следует
,
.
(эти соотношения можно получить из (15)).
Т.к. , то из последних соотношений заключаем:
при , т. е. sinz и cosz- неограниченные функции.
7. Области однолистности аналитических функций. Обратные функции
Пусть функция w=f(z) - аналитическая в области D. Пусть G - образ области D при отображении w=f(z), т.е. G=f(D).
Определение. Если (т.е. в различных точках области D функция принимает различные значения), то аналитическая функция w=f(z) называется однолистной в области D.
Другими словами, однолистная функция w=f(z) взаимно однозначно отображает область D на G.
При однолистном отображении w=f(z) прообраз любой точки wG состоит из единственного элемента: : .
Поэтому z можно рассматривать как функцию от переменной , определенную на G. Она обозначается и называется обратной функцией.
Справедливы тождества:
и имеет место
Теорема. Если f(z)- однолистная и аналитическая на D, и на D, то - аналитическая на G=f(D).
Определение. Если в области D существует, по крайней мере, одна пара точек , то функцию f(z) называют многолистной в области D.
Если отображение w=f(z) является многолистным на D (например, w=ez, w=sinz, w=cosz, w=zn), то в этом случае некоторым значениям wG соответствует более, чем одна точка zD: f(z)=w.
Следовательно, обратное отображение не является однозначным, оно является многозначной функцией.
Определение. Функция w=f(z) называется многозначной функцией на множестве E, если некоторыми значениям zE соответствует более чем одно значение w.
Теорема. Если аналитическая функция w=f(z) многолистна в области D, то эту область можно разбить на конечное или счетное множество областей, в каждой из которых функция f(z) является однолистной.
К многозначным функциям неприменимы понятия аналитичности и непрерывности. Они могут применяться только к однозначным функциям. Для того, чтобы их использовать, выделяют однозначные ветви многозначных функций.
Определение. Однозначная на области D функция w=f(z) называется ветвью многозначной функции F, если значение f в любой точке zD совпадает с одним из значений F в этой точке.
Е сли функция w=f(z) многолистна на D, то обратная функция будет многозначной. Чтобы выделить однозначную ветвь этой функции поступают, следующим образом: область D разбивают на области однолистности функции w=f(z) так, что никакие две из областей не имеют общих внутренних точек и так, чтобы каждая точка zD принадлежала одной из этих областей или границе некоторых из них. В каждой из этих областей однолистности определяют функцию, обратную к w=f(z). Она и является однозначной ветвью многозначной функции .
Н айдем области однолистности функции expz. Выберем
.
Тогда областью однолистности функции будут полоса шириной не больше , параллельная действительной оси.
Разобьем плоскость на области однолистности: .
Если, например, , то .