- •Часть 1
- •Введение
- •Глава 1 элементы линейной алгебры §1. Определители Пример 1.1.
- •Пример 1.4.
- •Пример 1.5.
- •Пример 1.6.
- •Пример 2.2
- •Пример 2.3
- •Пример 2.4
- •Пример 2.5
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 2.1. Написать разложение вектора по векторам
- •Задание 2.2. Найти косинус угла между векторами и
- •Задание 2.3 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и
- •Задание 2.4. Определить коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?
- •Задание 2.5. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на грань .
- •Глава 3 элементы аналитической геометрии §1. Прямая на плоскости Пример 3.1
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 3.1.
- •§2. Плоскость в пространстве Пример 3.2
- •Пример 3.7
- •Пример 3.8
- •Пример 3.10
- •Пример 3.11
- •Пример 3.12
- •Пример 3.13
- •Пример 3.14
- •Глава 4 введение в анализ § 1. Пределы числовых последовательностей Пример 4.1
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 4.1 Вычислить пределы числовых последовательностей.
- •§ 2. Пределы функций Пример 4.2 Вычислить пределы дробно-рациональных функций:
- •Пример 4.3
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 4.2. Вычислить пределы дробно-рациональных функций
- •Задание 4.3. Вычислить пределы иррациональных функций
- •§ 3. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых. Пример 4.4
- •Пример 4.5
- •Пример 4.6
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 4.4. Вычислить пределы, используя первый замечательный предел и его следствия.
- •Задание 4.5. Вычислить пределы, используя второй замечательный предел и его следствия.
- •Задание 4.6 Определить порядок относительно данной функции, бесконечно малой при .
- •§ 4. Непрерывность функций Пример 4.7
- •Пример 4.8
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 4.7. Установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений . Сделать схематический чертёж.
- •Пример 5.1
- •Пример 5.2
- •Задание 5.2.
- •Задание 5.3.
- •Задание 5.4.
- •Задание 5.5.
- •Задание 5.6.
- •Задание 5.7.
- •Задание 5.8.
- •Задание 5.9.
- •Задание 5.10.
- •Задание 5.11.
- •Задание 5.12.
- •Задание 5.13.
- •Задание 5.15.
- •Задание 5.16
- •§ 3. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически Пример 5.17
- •Задание 5.18. Найти и для функций, заданных параметрически.
- •§4. Правило лопиталя Пример 5.19
- •Пример 5.20
- •Задания для самостоятельного решения. Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя. Задание 5.19
- •Задание 5.20.
- •§ 5. Полное исследование функций
- •Пример 5.21
- •Пример 5.22
- •Пример 5.23
- •По данным исследования построим график функции .
- •Задания для самостоятельного решения. Провести полное исследование функций и построить их графики Задание 5.21.
- •Задание 5.22.
- •Задание 5.23.
- •§ 6. Применение дифференциала для приближенного вычисления Пример 5.24
- •Пример 5.25
- •Задание 5.25.
- •Литература
- •Содержание
- •Часть 1.
Глава 4 введение в анализ § 1. Пределы числовых последовательностей Пример 4.1
Вычислить пределы числовых последовательностей:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ;
е) .
Решение:
а) .
При числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности. Имеем неопределенность вида . Для того, чтобы найти предел данной дроби, предварительно преобразуем её, разделив числитель и знаменатель на . Дробь при этом не изменит своей величины, а, следовательно, и своего предела. Далее, учитывая, что пределы последовательностей и равны нулю при , а, также применяя основные теоремы о сходящихся последовательностях, получим:
.
Ответ: .
б) .
При числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности. Чтобы устранить неопределённость , вынесем за скобки в старшей степени. Получим:
.
Ответ: 0.
в) .
При числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности. Чтобы устранить неопределённость , вынесем за скобки в старшей степени. Получим:
=
Ответ: .
г) .
По определению . Тогда . Очевидно, что . Выразим и через . Получим:
,
.
Учитывая данные соотношения, после преобразования выражения , приходим к неопределённости , для устранения которой делим числитель и знаменатель на .
Ответ: .
д) .
В числителе первой дроби записана сумма первых членов арифметической прогрессии. Она равна:
Применяя указанную формулу, а затем, приводя дроби к общему знаменателю, приходим к неопределённости вида . Поделив числитель и знаменатель на , получим:
Ответ: .
е) .
Так как
,
а последовательности и представляют собой бесконечно убывающие геометрические прогрессии со знаменателями и соответственно, и сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии , получим:
Ответ: .
Задания для самостоятельного решения. Задание 4.1 Вычислить пределы числовых последовательностей.
1. |
. |
2. |
|
3. |
. |
4. |
. |
5. |
. |
6. |
. |
7. |
. |
8. |
. |
9. |
|
10. |
. |
11. |
. |
12. |
. |
13. |
. |
14. |
. |
15. |
. |
16. |
. |
17. |
|
18. |
. |
19. |
. |
20. |
. |
21. |
. |
22. |
. |
23. |
. |
24. |
. |
25. |
. |
26. |
. |
27. |
. |
28. |
|
29. |
. |
30. |
|
§ 2. Пределы функций Пример 4.2 Вычислить пределы дробно-рациональных функций:
а) ; б) .
Решение:
а) .
Непосредственная подстановка в выражение предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида . Следовательно, прежде чем перейти к пределу, необходимо данное выражение преобразовать. Числитель и знаменатель дроби при обращаются в нуль, поэтому многочлены и делятся без остатка на (теорема Безу). Имеем:
;
,
Здесь квадратный трехчлен разложили на множители (если и - корни квадратного уравнения , то ).
В результате получим:
.
Ответ: .
б) .
При подстановке предельного значения аргумента приходим к неопределенности вида . Разложим многочлены и на множители, учитывая, что они без остатка делятся на . Имеем:
0 0
Таким образом, ;
.
Учитывая, что , , получим:
Ответ: 0.