- •Часть 1
- •Введение
- •Глава 1 элементы линейной алгебры §1. Определители Пример 1.1.
- •Пример 1.4.
- •Пример 1.5.
- •Пример 1.6.
- •Пример 2.2
- •Пример 2.3
- •Пример 2.4
- •Пример 2.5
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 2.1. Написать разложение вектора по векторам
- •Задание 2.2. Найти косинус угла между векторами и
- •Задание 2.3 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и
- •Задание 2.4. Определить коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?
- •Задание 2.5. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на грань .
- •Глава 3 элементы аналитической геометрии §1. Прямая на плоскости Пример 3.1
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 3.1.
- •§2. Плоскость в пространстве Пример 3.2
- •Пример 3.7
- •Пример 3.8
- •Пример 3.10
- •Пример 3.11
- •Пример 3.12
- •Пример 3.13
- •Пример 3.14
- •Глава 4 введение в анализ § 1. Пределы числовых последовательностей Пример 4.1
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 4.1 Вычислить пределы числовых последовательностей.
- •§ 2. Пределы функций Пример 4.2 Вычислить пределы дробно-рациональных функций:
- •Пример 4.3
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 4.2. Вычислить пределы дробно-рациональных функций
- •Задание 4.3. Вычислить пределы иррациональных функций
- •§ 3. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых. Пример 4.4
- •Пример 4.5
- •Пример 4.6
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 4.4. Вычислить пределы, используя первый замечательный предел и его следствия.
- •Задание 4.5. Вычислить пределы, используя второй замечательный предел и его следствия.
- •Задание 4.6 Определить порядок относительно данной функции, бесконечно малой при .
- •§ 4. Непрерывность функций Пример 4.7
- •Пример 4.8
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 4.7. Установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений . Сделать схематический чертёж.
- •Пример 5.1
- •Пример 5.2
- •Задание 5.2.
- •Задание 5.3.
- •Задание 5.4.
- •Задание 5.5.
- •Задание 5.6.
- •Задание 5.7.
- •Задание 5.8.
- •Задание 5.9.
- •Задание 5.10.
- •Задание 5.11.
- •Задание 5.12.
- •Задание 5.13.
- •Задание 5.15.
- •Задание 5.16
- •§ 3. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически Пример 5.17
- •Задание 5.18. Найти и для функций, заданных параметрически.
- •§4. Правило лопиталя Пример 5.19
- •Пример 5.20
- •Задания для самостоятельного решения. Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя. Задание 5.19
- •Задание 5.20.
- •§ 5. Полное исследование функций
- •Пример 5.21
- •Пример 5.22
- •Пример 5.23
- •По данным исследования построим график функции .
- •Задания для самостоятельного решения. Провести полное исследование функций и построить их графики Задание 5.21.
- •Задание 5.22.
- •Задание 5.23.
- •§ 6. Применение дифференциала для приближенного вычисления Пример 5.24
- •Пример 5.25
- •Задание 5.25.
- •Литература
- •Содержание
- •Часть 1.
Задание 2.5. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на грань .
1. |
, |
, |
, |
. |
2. |
, |
, |
, |
. |
3. |
, |
, |
, |
. |
4. |
, |
, |
, |
. |
5. |
, |
, |
, |
. |
6. |
, |
, |
, |
. |
7. |
, |
, |
, |
. |
8. |
, |
, |
, |
. |
9. |
, |
, |
, |
. |
10. |
, |
, |
, |
. |
11. |
, |
, |
, |
. |
12. |
, |
, |
, |
. |
13. |
, |
, |
, |
. |
14. |
, |
, |
, |
. |
15. |
, |
, |
, |
. |
16. |
, |
, |
, |
. |
17. |
, |
, |
, |
. |
18. |
, |
, |
, |
. |
19. |
, |
, |
, |
. |
20. |
, |
, |
, |
. |
21. |
, |
, |
, |
. |
22. |
, |
, |
, |
. |
23. |
, |
, |
, |
. |
24. |
, |
, |
, |
. |
25. |
, |
, |
, |
. |
26. |
, |
, |
, |
. |
27. |
, |
, |
, |
. |
28. |
, |
, |
, |
. |
29. |
, |
, |
, |
. |
30. |
, |
, |
, |
. |
Глава 3 элементы аналитической геометрии §1. Прямая на плоскости Пример 3.1
Даны вершины треугольника : . Найти:
а) уравнение стороны ;
б) уравнение высоты ;
в) уравнение медианы ;
г) уравнение биссектрисы ;
д) точку пересечения медианы и высоты ;
е) уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно стороне ;
ж) расстояние от точки до прямой .
Решение:
а) Уравнение прямой, проходящей через две точки и имеет вид:
.
Значит, уравнение стороны проходящей через точки и будет следующим:
,
откуда
или
Таким образом, .
б) Составим уравнение высоты . Так как - высота, то прямые и перпендикулярны.
I способ: Для того, чтобы прямые и были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были связаны соотношением .
Угловой коэффициент прямой равен , так как или . Тогда .
Уравнение высоты ищем в виде:
,
где - координаты точки, принадлежащей прямой, - угловой коэффициент искомой прямой.
Прямая проходит через точку с угловым коэффициентом . Получим:
II способ: Для составления уравнения высоты используем уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным нормальным вектором :
.
В данном случае прямая проходит через точку , в качестве нормального вектора берем вектор , т.е. . Получим:
Таким образом, :
в) Пусть точка - середина стороны . Координаты точки определим из соотношений:
.
Получим: .
Таким образом, точка .
Уравнение медианы составляем по двум точкам и , используя уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Таким образом, .
г) Найдем уравнение биссектрисы . Биссектриса делит сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам, т.е.
.
Имеем:
.
Отсюда .
Значит, .
Определим координаты точки L, делящей отрезок BC в отношении :
Получили точку .
Биссектриса проходит через две точки и . Её уравнение имеет вид:
откуда или .
Получили уравнение биссектрисы : .
д) Найдем точку пересечения медианы и высоты . Для этого решим систему:
Таким образом, .
Заметим, что точка совпала с точкой , значит, стороны и взаимно перпендикулярны и треугольник - прямоугольный. Кроме того, высота СН совпадает со стороной АС.
е) Составим уравнение прямой, проходящей через вершину , параллельно стороне .
Так как угловой коэффициент прямой ( ) , то для прямой, параллельной стороне .
Уравнение прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом имеет вид:
Прямая проходит через точку , параллельно стороне .
ж) Для определения расстояния от точки до прямой используем формулу:
.
Значит, расстояние от точки до прямой равно:
(ед.).
|
Рисунок 1
Ответ: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) (ед.).