Пример 5.21

Исследовать функцию и построить её график.

Решение:

1. Область определения функции: .

2. Точка разрыва функции , т.к.

3. Найдем точки пересечения графика функции с осью :

Точки пересечения с осью : .

Таким образом, точка пересечения графика функции с координатными осями есть точка О (0;0).

4. Исследуем четность функции: . Как видим, не выполняется условие - чётности и - нечётности.

Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной, т.е. функция общего вида.

5. Найдем критические точки экстремумов, интервалы монотонности. Для этого вычислим первую производную и решим уравнение .

Исследование знаков первой производной, а также поведение функции с учетом известных теорем удобно выполнить в таблице. Для этого область определения функции найденными точками разбиваем на интервалы.

		-3		-1		0
	+	0		разрыв	+	0	+
		3,375 max				0 нет экстремума

6. Находим точки перегиба, интервалы выпуклости, вогнутости графика функции. Для этого вычислим вторую производную и решим уравнение .

Исследование знаков второй производной, а также поведение функции с учетом известных теорем удобно выполнить в таблице. Для этого область определения функции найденными точками разбиваем на интервалы.

		-1		0
		разрыв		0	+
				0 пере- гиб

7. Асимптоты кривой.

а) наклонная

Следовательно, - наклонная асимптота кривой.

б) горизонтальная

так как старшая степень числителя больше старшей степени знаменателя.

Итак, при , следовательно, горизонтальных асимптот нет.

в) вертикальная

Уравнение вертикальной асимптоты

8. По данным исследования построим график функции .

x= -1

Рисунок 12

Пример 5.22

Исследовать функцию и построить её график.

Решение:

1. Область определения функции: .

2. Точек разрыва нет и вертикальных асимптот нет.

3. Найдем точки пересечения графика функции с осью :

Точки пересечения с осью : .

Таким образом, точка пересечения графика функции с координатными осями есть точка О (0;0).

4. Функция не является ни чётной, ни нечётной, т.к.

5. Находим точки экстремумов, интервалы монотонности. Для этого вычислим первую производную и решим уравнение .

Исследование знаков первой производной, а также поведение функции с учетом известных теорем удобно выполнить в таблице. Для этого область определения функции найденными точками разбиваем на интервалы.

х		0		2
	-	0	+	0	-
		0 min		max

6. Найдём точки перегиба, интервалы выпуклости, вогнутости графика функции. Для этого вычислим вторую производную и решим уравнение .

Исследование знаков второй производной, а также поведение функции с учетом известных теорем удобно выполнить в таблице. Для этого область определения функции найденными точками разбиваем на интервалы.

х
	+	0	-	0	+
		0,191 перегиб		0,383 перегиб

7. Асимптоты

а) наклонная

.

Таким образом, наклонных асимптот нет.

б) горизонтальная

- горизонтальная асимптота при

Таким образом, при горизонтальных асимптот нет.

8. По данным исследования построим график функции .

Рисунок 13