Пример 2.2

Найти косинус угла между векторами и , если .

Решение:

Найдем координаты векторов и , для этого из координат конца вектора вычтем координаты начала вектора. Имеем,

Для определения косинуса угла между векторами воспользуемся определением скалярного произведения двух векторов:

,

откуда

,

Имеем,

.

Ответ:

Пример 2.3

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если

Решение:

Известно, что площадь параллелограмма численно равна модулю векторного произведения векторов и , на которых, как на сторонах построен параллелограмм:

Вычислим , используя определение и свойства векторного произведения.

.

Тогда, .

(кв.ед.)

Ответ: кв.ед.

Пример 2.4

Определить коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и , если

Решение:

I способ.

Для решения данной задачи воспользуемся определением коллинеарности двух векторов. Пусть и .

Если , то .

Вычислим координаты векторов и .

Проверим условие коллинеарности векторов:

- векторы коллинеарны.

II способ. Если векторы коллинеарны, то угол между ними равен или . Используем определение скалярного произведения для определения косинуса угла между векторами и :

.

Отсюда

Если и , то

.

Так как , то угол между векторами и равен , векторы коллинеарны и противоположно направлены.

III способ.

Два не нулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т.е.

.

Так как векторы и заданы в координатной форме, то:

.

=

= .

Значит векторы и коллинеарны.

Ответ: векторы и коллинеарны.

Пример 2.5

Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на грань , если .

Решение:

Известно, что объем тетраэдра равен модуля смешанного произведения трех векторов, имеющих общее начало, на которых построен тетраэдр.

Для нашей задачи выберем векторы . Тогда . Найдем координаты этих векторов и вычислим их смешанное произведение.

;

;

.

.

(куб.ед.)

С другой стороны, объем тетраэдра равен произведения площади основания и высоты, опущенной на это основание:

,

где - площадь основания тетраэдра, - его высота.

Откуда . Объем мы уже вычислили, осталось найти площадь основания, которая представляет собой площадь треугольника . Площадь треугольника вычислим, используя геометрический смысл модуля векторного произведения:

.

Найдем векторное произведение векторов и :

Модуль полученного вектора:

.

Наконец, площадь треугольника будет равна:

(кв.ед.)

Таким образом, высота тетраэдра, опущенная на его основание

(ед.дл.)

Ответ: куб.ед.; (ед.дл.).

Задания для самостоятельного решения. Задание 2.1. Написать разложение вектора по векторам

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.