Пример 4.5
Вычислить пределы,
используя второй замечательный предел
и его следствия: а)
;
б)
;
в)
.
Решение:
а) .
Второй замечательный
предел:
.
В этой задаче
предел основания степени стремится к
1 (разделите числитель и знаменатель на
),
а показатель степени стремится к
бесконечности. Имеем неопределённость
вида
.
Для того, чтобы раскрыть эту неопределённость,
представляем основание степени в виде
,
а в показателе выделяем множитель
,
где
- величина бесконечно малая при
.
Ответ:
.
б) .
Числитель и знаменатель заменим эквивалентными бесконечно малыми функциями:
Ответ: 1.
в)
Используя свойства
логарифма, преобразуем выражение
.
Далее, используя второй замечательный
предел, и, учитывая непрерывность функции
,
получим:
Ответ:
2.
Пример 4.6
Определить порядок относительно функции, бесконечно малой при :
а)
;
б)
;
в)
.
Решение:
а) Определить порядок малости относительно функции ?
Будем считать, что
искомый порядок малости равен
,
и определим
так, чтобы
имел конечное значение, отличное от
нуля.
Данная функция
является бесконечно малой одного порядка
при
,
так как при
.
Ответ: .
б) Определить порядок малости относительно функции ?
Будем считать, что
искомый порядок малости равен
,
и определим
так, чтобы
имел конечное значение, отличное от
нуля.
Данная функция
имеет второй порядок малости
относительно бесконечно малой
.
Ответ:
.
в) Определить порядок малости относительно функции ?
Будем считать, что
искомый порядок малости равен
,
и определим
так, чтобы
имел конечное значение, отличное от
нуля.
Данная функция
имеет третий порядок малости
относительно бесконечно малой
.
Ответ:
.
Задания для самостоятельного решения. Задание 4.4. Вычислить пределы, используя первый замечательный предел и его следствия.
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
16. |
|
17. |
|
18. |
|
19. |
|
20. |
|
21. |
|
22. |
|
23. |
|
24. |
|
25. |
|
26. |
. |
27. |
|
28. |
|
29. |
|
30. |
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.Задание 4.5. Вычислить пределы, используя второй замечательный предел и его следствия.
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
16. |
|
17. |
|
18. |
|
19. |
|
20. |
|
21. |
|
22. |
|
23. |
|
24. |
|
25. |
|
26. |
|
27. |
|
28. |
|
29. |
|
30. |
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.