Задания для самостоятельного решения. Задание 4.7. Установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений . Сделать схематический чертёж.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;
;
.
;
;
.
;
.
;
.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Задание 4.8.
Найти точки разрыва функции , если они существуют. Сделать схематический чертёж.
ГЛАВА 5 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1.ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
1)
4)
2)
5)
3)
6)
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
1.
11.
2.
12.
3.
13.
4.
14.
5.
15.
6.
16.
7.
17.
8.
18.
9.
19.
10.
Вычислить производные функций, используя таблицу производных и правила дифференцирования.
Пример 5.1
а)
;
б)
.
Решение:
а) .
Функцию
представляем в виде:
.
Используем
формулы: 
;
,
где
;
.
Получим:
.
Ответ:
.
б) .
Функцию
представляем в виде:
.
Используем формулы: ;
, где ;
.
Получим:
Ответ:
.
Пример 5.2
а)
; б)
.
Решение:
а) .
Используем формулу: . Получим:
Далее, при
дифференцировании первого и второго
слагаемых, применяем формулу
.
Получим:
Дифференцируя
многочлены
и
по формулам
;
,
где
;
получим:
.
Ответ:
.
б) .
Используем формулу: . Получим:
Далее, применяем формулу . Получим:
Дифференцируя
многочлены
и
получим:
.
Ответ:
.
Пример 5.3
а)
; б)
.
Решение:
а)
Используем формулу:
.
.
Далее, учитывая,
что
;
,
получим:
.
Преобразовав
выражение в числителе, получим
.
Ответ: .
б) .
Используем формулу: .
.
Так как
,
значит:
.
Дифференцируя
выражение
,
получим:
.
Ответ:
.
Пример 5.4
а)
;
б)
.
Решение:
а)
Используем формулу:
.
.
Так как
,
имеем:
.
Дифференцируя
многочлен
,
получим:
.
Ответ:
.
б)
Используем формулу:
.
.
Далее,
учитывая, что
,
,
получим:
Преобразовывая дробь, получим:
.
Ответ: .
Пример 5.5
а)
; б)
.
Решение:
а)
Используем
формулу:
.
.
Дифференцируя
многочлен
,
получим:
.
Ответ: .
б)
Используем формулу: .
.
При дифференцировании последнего множителя, применяем формулу . Получим:
.
Далее, учитывая, что , имеем:
.
Ответ:
.
Пример 5.6
а)
4;
б)
.
Решение:
а) .
Используем формулу:
.
.
Далее,
учитывая, что
и
,
получим:
.
Ответ:
.
б) .
Используем формулу:
.
.
Так как , получим:
.
Ответ:
.
Пример 5.7
а)
; б)
.
Решение:
а) .
Используем формулу: .
.
В первом слагаемом применяем формулу , во втором - . Получим:
.
Учитывая, что , имеем:
.
Ответ:
б) .
Используем формулу: .
.
Далее, учитывая, что и , получим:
.
Так как , получим:
.
Ответ:
.
Пример 5.8
а)
; б)
.
Решение:
а) .
Используем формулу: .
.
Далее, так как , получим:
.
Применяя формулу , окончательно имеем:
.
Ответ:
.
б) .
Используем формулу: .
.
Далее,
так как
и
,
получим:
Применяем формулу:
и, дифференцируя
,
получим:
.
Ответ:
.
Пример 5.9
а)
; б)
.
Решение:
а)
Преобразуем
заданную функцию:
.
Используем формулу: .
Далее используем
формулы дифференцирования:
и
.
Получим
,
.
Ответ:
.
б) .
Используем формулу: .
.
Далее используем
формулы дифференцирования:
и
.
Получим
,
.
Ответ:
.
Пример 5.10
а)
;
б)
.
Решение:
а) .
Используем формулу: .
.
Далее используем формулы дифференцирования: и . Получим
.
Так как
,
то
.
Ответ:
б) .
Используем формулу: .
.
Далее применяем
формулы дифференцирования:
и
.
Получим
Ответ:
.
Пример 5.11
а)
; б)
.
Решение:
а) .
Используем формулу: ,
.
Далее используем формулы дифференцирования: и . Получим
.
Так как , то
Ответ:
.
б) .
Используем формулу: .
.
Далее используем формулы и . Получим
Ответ:
.
Пример 5.12
а)
; б)
.
Решение:
а)
Используем формулу: .
.
Далее используем формулы и ,
Ответ:
.
б) .
Используем формулу: .
.
Далее используем
формулы
и
.
.
Ответ:
.
Пример 5.13
.
Решение:
Используем формулу: .
Далее
используем формулы
и
.
;
;
;
.
Ответ:
Задания для самостоятельного решения.
В заданиях 5.1-5.13 вычислить производные функций, используя таблицу производных и правила дифференцирования.
Задание 5.1
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
16. |
|
17. |
|
18. |
|
19. |
|
20. |
|
21. |
|
22. |
|
23. |
|
24. |
|
25. |
|
26. |
|
27. |
|
28. |
|
29. |
|
30. |
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.