- •Часть 1
- •Введение
- •Глава 1 элементы линейной алгебры §1. Определители Пример 1.1.
- •Пример 1.4.
- •Пример 1.5.
- •Пример 1.6.
- •Пример 2.2
- •Пример 2.3
- •Пример 2.4
- •Пример 2.5
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 2.1. Написать разложение вектора по векторам
- •Задание 2.2. Найти косинус угла между векторами и
- •Задание 2.3 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и
- •Задание 2.4. Определить коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?
- •Задание 2.5. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на грань .
- •Глава 3 элементы аналитической геометрии §1. Прямая на плоскости Пример 3.1
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 3.1.
- •§2. Плоскость в пространстве Пример 3.2
- •Пример 3.7
- •Пример 3.8
- •Пример 3.10
- •Пример 3.11
- •Пример 3.12
- •Пример 3.13
- •Пример 3.14
- •Глава 4 введение в анализ § 1. Пределы числовых последовательностей Пример 4.1
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 4.1 Вычислить пределы числовых последовательностей.
- •§ 2. Пределы функций Пример 4.2 Вычислить пределы дробно-рациональных функций:
- •Пример 4.3
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 4.2. Вычислить пределы дробно-рациональных функций
- •Задание 4.3. Вычислить пределы иррациональных функций
- •§ 3. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых. Пример 4.4
- •Пример 4.5
- •Пример 4.6
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 4.4. Вычислить пределы, используя первый замечательный предел и его следствия.
- •Задание 4.5. Вычислить пределы, используя второй замечательный предел и его следствия.
- •Задание 4.6 Определить порядок относительно данной функции, бесконечно малой при .
- •§ 4. Непрерывность функций Пример 4.7
- •Пример 4.8
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 4.7. Установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений . Сделать схематический чертёж.
- •Пример 5.1
- •Пример 5.2
- •Задание 5.2.
- •Задание 5.3.
- •Задание 5.4.
- •Задание 5.5.
- •Задание 5.6.
- •Задание 5.7.
- •Задание 5.8.
- •Задание 5.9.
- •Задание 5.10.
- •Задание 5.11.
- •Задание 5.12.
- •Задание 5.13.
- •Задание 5.15.
- •Задание 5.16
- •§ 3. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически Пример 5.17
- •Задание 5.18. Найти и для функций, заданных параметрически.
- •§4. Правило лопиталя Пример 5.19
- •Пример 5.20
- •Задания для самостоятельного решения. Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя. Задание 5.19
- •Задание 5.20.
- •§ 5. Полное исследование функций
- •Пример 5.21
- •Пример 5.22
- •Пример 5.23
- •По данным исследования построим график функции .
- •Задания для самостоятельного решения. Провести полное исследование функций и построить их графики Задание 5.21.
- •Задание 5.22.
- •Задание 5.23.
- •§ 6. Применение дифференциала для приближенного вычисления Пример 5.24
- •Пример 5.25
- •Задание 5.25.
- •Литература
- •Содержание
- •Часть 1.
Задание 5.20.
1. |
. |
2. |
. |
3. |
. |
4. |
. |
5. |
. |
6. |
. |
7. |
. |
8. |
. |
9. |
. |
10. |
. |
11. |
. |
12. |
. |
13. |
. |
14. |
. |
15. |
. |
16. |
. |
17. |
. |
18. |
. |
19. |
. |
20. |
. |
21. |
. |
22. |
. |
23. |
. |
24. |
. |
25. |
. |
26. |
. |
27. |
. |
28. |
. |
29. |
. |
30. |
.
|
§ 5. Полное исследование функций
Чтобы построить график функции , необходимо насколько возможно полно исследовать её. Для этого необходимо найти:
Область определения функции.
Точки разрыва функции.
Точкой разрыва функции называется такая точка , в которой:
либо не определена функция;
либо не существует ;
либо .
Точки пересечения графика функции с координатными осями.
Исследовать четность функции. При этом, если функция чётная, т.е. , то график функции симметричен относительно оси ординат; если функция нечётная, т.е. , то график функции симметричен относительно начала координат.
Точки экстремумов, интервалы возрастания и убывания функции, экстремумы функции.
Необходимое условие существования экстремума в точке: если функция имеет в точке экстремум – max (min), то её производная в этой точке обращается в нуль .
Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называют критическими. Не во всех критических точках может существовать экстремум. Исследование функции в критических точках состоит из проверки достаточных условий существование экстремума: пусть функция непрерывна и имеет конечную производную в некоторой окрестности точки . Если при переходе слева направо через точку производная меняет знак «плюс» на «минус», то в точке функция имеет максимум. Если при переходе слева направо через точку производная меняет знак «минус» на «плюс», то в точке функция имеет минимум. Если при переходе через не меняет знак, то в точке экстремума нет.
Для того чтобы функция непрерывная на отрезке была монотонно убывающей на интервале , необходимо и достаточно выполнение условия на .
Для того чтобы функция непрерывная на отрезке была монотонно возрастающей на интервале , необходимо и достаточно выполнение условия на .
Точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости графика функции.
Если в точке вторая производная обращается в нуль или не существует и при переходе через точку меняет знак, то точке существует перегиб, если же знака не меняет, то перегиба нет.
Для того чтобы функция на была выпуклой необходимо и достаточно, чтобы внутри отрезка выполнялось условие ; а чтобы функция была вогнутой на необходимо и достаточно, чтобы внутри отрезка выполнялось условие .
Асимптоты кривой.
Если расстояние от точки кривой до некоторой определённой прямой по мере удаления точки в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой. Будем различать вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты.
Вертикальные асимптоты. Из определения асимптоты следует, что если
или
,
то прямая есть асимптота кривой ; и обратно, если прямая есть асимптота, то выполняется одно из написанных равенств.
Наклонные асимптоты.
Кривая имеет наклонную асимптоту, уравнение которой имеет вид
,
где
.
Если , то наклонных асимптот нет.
Горизонтальные асимптоты.
Кривая имеет горизонтальную асимптоту, уравнение которой имеет вид
,
где
.
Согласно проведенному исследованию построить график функции.