- •Часть 1
- •Введение
- •Глава 1 элементы линейной алгебры §1. Определители Пример 1.1.
- •Пример 1.4.
- •Пример 1.5.
- •Пример 1.6.
- •Пример 2.2
- •Пример 2.3
- •Пример 2.4
- •Пример 2.5
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 2.1. Написать разложение вектора по векторам
- •Задание 2.2. Найти косинус угла между векторами и
- •Задание 2.3 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и
- •Задание 2.4. Определить коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?
- •Задание 2.5. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на грань .
- •Глава 3 элементы аналитической геометрии §1. Прямая на плоскости Пример 3.1
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 3.1.
- •§2. Плоскость в пространстве Пример 3.2
- •Пример 3.7
- •Пример 3.8
- •Пример 3.10
- •Пример 3.11
- •Пример 3.12
- •Пример 3.13
- •Пример 3.14
- •Глава 4 введение в анализ § 1. Пределы числовых последовательностей Пример 4.1
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 4.1 Вычислить пределы числовых последовательностей.
- •§ 2. Пределы функций Пример 4.2 Вычислить пределы дробно-рациональных функций:
- •Пример 4.3
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 4.2. Вычислить пределы дробно-рациональных функций
- •Задание 4.3. Вычислить пределы иррациональных функций
- •§ 3. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых. Пример 4.4
- •Пример 4.5
- •Пример 4.6
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 4.4. Вычислить пределы, используя первый замечательный предел и его следствия.
- •Задание 4.5. Вычислить пределы, используя второй замечательный предел и его следствия.
- •Задание 4.6 Определить порядок относительно данной функции, бесконечно малой при .
- •§ 4. Непрерывность функций Пример 4.7
- •Пример 4.8
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 4.7. Установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений . Сделать схематический чертёж.
- •Пример 5.1
- •Пример 5.2
- •Задание 5.2.
- •Задание 5.3.
- •Задание 5.4.
- •Задание 5.5.
- •Задание 5.6.
- •Задание 5.7.
- •Задание 5.8.
- •Задание 5.9.
- •Задание 5.10.
- •Задание 5.11.
- •Задание 5.12.
- •Задание 5.13.
- •Задание 5.15.
- •Задание 5.16
- •§ 3. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически Пример 5.17
- •Задание 5.18. Найти и для функций, заданных параметрически.
- •§4. Правило лопиталя Пример 5.19
- •Пример 5.20
- •Задания для самостоятельного решения. Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя. Задание 5.19
- •Задание 5.20.
- •§ 5. Полное исследование функций
- •Пример 5.21
- •Пример 5.22
- •Пример 5.23
- •По данным исследования построим график функции .
- •Задания для самостоятельного решения. Провести полное исследование функций и построить их графики Задание 5.21.
- •Задание 5.22.
- •Задание 5.23.
- •§ 6. Применение дифференциала для приближенного вычисления Пример 5.24
- •Пример 5.25
- •Задание 5.25.
- •Литература
- •Содержание
- •Часть 1.
Глава 1 элементы линейной алгебры §1. Определители Пример 1.1.
Для данного определителя найти миноры и алгебраические дополнения для элементов . Вычислить определитель :
а) разложив его по элементам первой строки;
б) разложив его по элементам третьего столбца;
в) получив предварительно нули в четвертом столбце.
Решение:
Минором элемента определителя -го порядка называется определитель ( )-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания -ой строки и -го столбца. Обозначается . Найдем миноры для заданных элементов .
Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со знаком “+”, если сумма – четная и “-”, если эта сумма нечетная. Обозначается .
.
Вычислим алгебраические дополнения элементов
а) Вычисление определителей четвертого порядка и выше удобно проводить, используя свойство: определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения, то есть
или .
Эти формулы называются разложением определителя по элементам ой строки или го столбца соответственно.
Разложим определитель четвертого порядка по элементам первой строки:
Получим:
б) Вычислим определитель, разложив его по элементам третьего столбца:
в) Вычислим определитель, получив предварительно нули в четвертом столбце.
элементы третьей строки (рабочей) перепишем в преобразованный определитель без изменений;
умножим все элементы третьей строки на (-3), прибавим к соответствующим элементам первой строки, а результаты запишем в первую строку преобразованного определителя;
умножим элементы третьей строки на (-1) и прибавим к соответствующим элементам второй строки, результат запишем во вторую строку преобразованного определителя;
умножим все элементы третьей строки на (-2), прибавим к соответствующим элементам четвертой строки, результат запишем в четвертую строку преобразованного определителя.
После этих преобразований значение определителя не изменится, но он примет следующий вид:
Теперь, разложив определитель по элементам четвертого столбца, вычислим его:
;
По такой схеме можно вычислить определитель любого порядка.
Ответ: .
Задания для самостоятельного решения.
Задание 1.1.
Для данного определителя найти миноры и алгебраические дополнения элементов . Вычислить определитель :
а) разложив его по элементам i-й строки; б) разложив его по элементам j-го столбца; в) получив предварительно нули в i-й строке.
1. , 2. ,
3. , 4. ,
5. , 6. ,
7. , 8. ,
9. , 10. ,
11. , 12. ,
13. , 14. ,
15. , 16. ,
17. , 18. ,
19. , 20. ,
21. , 22. ,
23. , 24. ,
25. , 26. ,
27. 28. ,
29. , 30. .
§2. МАТРИЦЫ
Пример 1.2.
Даны две матрицы и .
Найти: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
Решение:
Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, т.е. для согласованных матриц.
Если матрица согласованна с матрицей , то произведением матрицы на матрицу называется такая матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов ой строки матрицы на соответствующие элементы го столбца матрицы :
,
или
.
В общем виде произведение матриц размерности выглядит следующим образом:
а)
б)
в) Матрица называется обратной матрице , если выполняется условие , где - единичная матрица того же порядка, что и матрица . Матрица имеет ту же размерность, что и матрица .
Всякая невырожденная квадратная матрица третьего порядка имеет обратную :
.
Вычислим определитель данной матрицы (используем разложение по элементам первой строки):
Так как , то матрица невырожденная и для нее можно составить обратную .
Находим алгебраические дополнения:
Запишем обратную матрицу :
.
г) Найдем произведение данной матрицы на обратную :
д) Найдем произведение обратной матрицы на данную :
.
Так как , то обратная матрица вычислена верно.
Ответ: а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
Задания для самостоятельного решения.
Задание 1.2.
Даны две матрицы А и В.
Найти: а) АВ; б) ВА; в) ; г) ; д) .
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
§3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Пример 1.3.
Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы; в) методом Гаусса.
Решение:
Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений. Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера-Капелли. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы
данной системы и ранг расширенной матрицы
.
Для этого умножим первую строку матрицы на (-2) и сложим со второй, затем умножим первую строку на (-3) и сложим с третьей.
Далее из второй строки вычтем третью, в результате в полученной матрице вторую строку сократим на (-5):
Ранг матрицы в ее ступенчатом виде равен числу ненулевых строк. Ранг матрицы и ранг матрицы .
Так как ранги матриц и одинаковы и равны количеству неизвестных, то данная система совместна и имеет единственное решение.
а) Решим систему линейных уравнений по формулам Крамера.
Вычислим главный определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных системы:
.
Так как , то система имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера:
,
где вспомогательные определители получаются из главного определителя путем замены соответственно 1-го, 2-го, 3-го столбцов столбцом свободных членов.
Вычислим вспомогательные определители:
.
По формулам Крамера имеем:
Ответ: .
б) Рассмотрим матричный метод решения данной системы линейных уравнений:
Решение:
Имеем:
Запишем данную систему в матричной форме:
Если матрица - невырожденная, т.е. определитель системы , то, умножая обе части матричного уравнения на матрицу слева, получаем решение системы в матричной форме:
.
Вычислим (смотри вычисление случай а)).
Матрица невырожденная и искомое решение имеет вид:
, где - обратная матрица.
Обратная матрица существует, т.к. . Найдем ее.
Решение системы:
Ответ:
в) Решим систему методом Гаусса. Исключим из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение умножим на (-2) и сложим со вторым, затем первое уравнение умножим на (-3) и сложим с третьим уравнением:
Далее из второго уравнения вычтем третье, и затем все коэффициенты разделим на (-5), получим:
Из полученной системы находим
Ответ: