- •Часть 1
- •Введение
- •Глава 1 элементы линейной алгебры §1. Определители Пример 1.1.
- •Пример 1.4.
- •Пример 1.5.
- •Пример 1.6.
- •Пример 2.2
- •Пример 2.3
- •Пример 2.4
- •Пример 2.5
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 2.1. Написать разложение вектора по векторам
- •Задание 2.2. Найти косинус угла между векторами и
- •Задание 2.3 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и
- •Задание 2.4. Определить коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?
- •Задание 2.5. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на грань .
- •Глава 3 элементы аналитической геометрии §1. Прямая на плоскости Пример 3.1
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 3.1.
- •§2. Плоскость в пространстве Пример 3.2
- •Пример 3.7
- •Пример 3.8
- •Пример 3.10
- •Пример 3.11
- •Пример 3.12
- •Пример 3.13
- •Пример 3.14
- •Глава 4 введение в анализ § 1. Пределы числовых последовательностей Пример 4.1
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 4.1 Вычислить пределы числовых последовательностей.
- •§ 2. Пределы функций Пример 4.2 Вычислить пределы дробно-рациональных функций:
- •Пример 4.3
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 4.2. Вычислить пределы дробно-рациональных функций
- •Задание 4.3. Вычислить пределы иррациональных функций
- •§ 3. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых. Пример 4.4
- •Пример 4.5
- •Пример 4.6
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 4.4. Вычислить пределы, используя первый замечательный предел и его следствия.
- •Задание 4.5. Вычислить пределы, используя второй замечательный предел и его следствия.
- •Задание 4.6 Определить порядок относительно данной функции, бесконечно малой при .
- •§ 4. Непрерывность функций Пример 4.7
- •Пример 4.8
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 4.7. Установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений . Сделать схематический чертёж.
- •Пример 5.1
- •Пример 5.2
- •Задание 5.2.
- •Задание 5.3.
- •Задание 5.4.
- •Задание 5.5.
- •Задание 5.6.
- •Задание 5.7.
- •Задание 5.8.
- •Задание 5.9.
- •Задание 5.10.
- •Задание 5.11.
- •Задание 5.12.
- •Задание 5.13.
- •Задание 5.15.
- •Задание 5.16
- •§ 3. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически Пример 5.17
- •Задание 5.18. Найти и для функций, заданных параметрически.
- •§4. Правило лопиталя Пример 5.19
- •Пример 5.20
- •Задания для самостоятельного решения. Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя. Задание 5.19
- •Задание 5.20.
- •§ 5. Полное исследование функций
- •Пример 5.21
- •Пример 5.22
- •Пример 5.23
- •По данным исследования построим график функции .
- •Задания для самостоятельного решения. Провести полное исследование функций и построить их графики Задание 5.21.
- •Задание 5.22.
- •Задание 5.23.
- •§ 6. Применение дифференциала для приближенного вычисления Пример 5.24
- •Пример 5.25
- •Задание 5.25.
- •Литература
- •Содержание
- •Часть 1.
Пример 3.7
Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой, проходящей через точки и .
Решение:
Составим уравнение прямой . Для этого воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки и :
.
Для прямой имеем: , .
Найдем координаты точки , симметричной точке относительно прямой .
Через точку проводим плоскость перпендикулярно к вектору . Получим:
Найдем точку пересечения плоскости и прямой . Уравнение прямой представляем в параметрическом виде:
Учитывая, что точка , пересечения прямой и плоскости , лежит и на прямой и на плоскости, получим:
Значит .
Точка - середина отрезка . Координаты точки найдем из соотношений:
.
Получим:
Точка симметрична точке относительно прямой .
Ответ: .
Пример 3.8
Найти точку , симметричную точке относительно плоскости : .
Решение:
Прежде всего, найдем проекцию точки на плоскость . Для этого составим уравнение прямой , перпендикулярной к данной плоскости. Нормальный вектор плоскости будет направляющим вектором перпендикуляра . Используем каноническое уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором :
.
Имеем, прямая проходит через точку и :
.
Найдем точку пересечения прямой и плоскости . Для этого приведем уравнение прямой к параметрическому виду:
Подставляя значения из этих уравнений в уравнение плоскости , найдем:
Получили - значение параметра, отвечающее точке как точке пересечения прямой с плоскостью .
Следовательно,
,
то есть .
Учитывая, что точка середина отрезка , найдем ее координаты:
.
.
.
Таким образом, точка - симметричная точке относительно плоскости : .
Ответ: .
Задания для самостоятельного решения.
Задание 3.6
Найти точку пересечения прямой и плоскости.
Задание 3.7
Найти точку , симметричную точке относительно прямой (для вариантов 1-15) или плоскости (для вариантов 16-30).
§5. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Пример 3.9
Какое геометрическое место точек определяет уравнение
?
Решение:
Разделим обе части уравнения на 3 и, дополняя до полных квадратов, находим
или
.
Сравнивая полученное уравнение с уравнением , которое определяет окружность с центром в точке и радиусом , заключаем, что .
Таким образом, искомое уравнение определяет окружность с центром в точке и радиусом (рис. 2).
|
Рисунок 2
Ответ: данное уравнение определяет окружность с центром в точке и радиусом .
Пример 3.10
Определить вид и расположение на плоскости линии .
Решение:
Преобразуем левую часть уравнения, выделяя полные квадраты:
или
.
Разделим обе части на 36:
.
Сравнивая полученное уравнение с уравнением , которое определяет гиперболу с центром в точке и полуосями и , заключаем, что искомое уравнение определяет гиперболу с центром в точке и полуосями (рис. 3).
Рисунок 3
Ответ: данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке и полуосями .