Пример 1.4.
Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы; в) методом Гаусса.
Решение:
Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений. Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера-Капелли. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы
и ранг расширенной матрицы
.
Для этого первую строку умножим на (-1) и сложим почленно со второй и третьей строками соответственно результат запишем во вторую и третью строки:
.
Далее вторую строку умножим на (-2) и сложим с третьей, получим:
Так как
,
то согласно теореме Кронекера-Капелли,
из того, что
,
следует несовместность исходной системы.
Ответ: система не имеет решений.
Пример 1.5.
Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.
Решение:
Вычислим определитель системы:
Поскольку
,
то данная система имеет только одно
нулевое решение:
.
Ответ:
Пример 1.6.
Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.
Решение:
Определитель этой системы
поэтому система имеет ненулевые решения. Замечаем, что миноры, содержащиеся в первых двух строках, отличны от нуля, например,
Возьмем первые два уравнения системы и найдем ее решение.
Так как определитель,
составленный из коэффициентов при
неизвестных
и
не равен нулю, то в качестве базисных
неизвестных возьмем
и
(хотя можно брать и другие пары неизвестных)
и поместим члены, содержащие неизвестную
в правую часть первого и второго
уравнений:
Решаем последнюю
систему по формулам Крамера
,
где
Отсюда находим,
что
Полагая
,
где
,
получаем решение исходной системы:
.
Ответ: система
имеет множество решений:
.
Задания для самостоятельного решения.
В заданиях 1.3-1.4 проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера, б) с помощью обратной матрицы (матричным методом), в) методом Гаусса.
Задание 1.3.
1. 
2.
3. 
4.
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11.
12. 
13.
14. 
15.
16. 
17.
18. 
19.
20. 
21.
22. 
23.
24. 
25.
26. 
27.
28. 
29.
30. 
Задание 1.4.
1.
2. 
3.
4. 
5.
6. 
7.
8. 
9.
10. 
11.
12. 
13.
14. 
15.
16. 
17.
18. 
19.
20. 
21.
22. 
23.
24. 
25.
26. 
27.
28. 
29.
30. 
В заданиях 1.5-1.6 решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.
Задание 1.5.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Задание 1.6.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
§4. РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
Пример 1.7.
Решить матричное уравнение и сделать проверку.
Решение:
Пусть
.
Имеем матричное
уравнение вида:
.
Решение ищем в
виде:
.
Составим обратную
матрицу
для матрицы
и, умножив ее на матрицу
,
получим матрицу неизвестных
.
.
.
Проверка:
=
=
- верно.
Ответ:
.
Пример 1.8.
Решить матричное уравнение и сделать проверку.
Решение:
Пусть
.
Имеем матричное
уравнение вида
.
Решение будем искать в виде
.
Составим обратную матрицу для матрицы и умножим матрицу на , получим матрицу неизвестных .
.
.
Так как , то
Проверка:
=
- верно.
Ответ:
Задания для самостоятельного решения.
Задание 1.7.
Решить матричное уравнение и сделать проверку
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
11. 
.
12. 
.
13. 
.
14. 
.
15. 
.
16. 
.
17. 
.
18. 
.
19. 
.
20. 
.
21. 
.
22. 
.
23. 
.
24. 
.
25. 
.
26. 
.
27. 
.
28. 
.
29. 
.
30. 
.
ГЛАВА 2 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Пример 2.1
Написать
разложение вектора
по векторам
,
если
Решение:
Если векторы в трехмерном пространстве некомпланарны, то любой четвертый вектор этого пространства можно разложить по этим векторам единственным образом
Проверим компланарны ли векторы , для этого вычислим определитель, составленный из координат этих векторов.
,
значит
некомпланарны.
Подставим в
разложение
вместо векторов
их координаты, получим:
.
Из условия равенства векторов, составим систему уравнений и решим ее по формулам Крамера.
.
.
.
получаются из
путем замены соответственно первого,
второго, третьего столбца столбцом
свободных членов.
Далее по формулам Крамера:
Получили разложение вектора по векторам :
.
Ответ: .