- •Часть 1
- •Введение
- •Глава 1 элементы линейной алгебры §1. Определители Пример 1.1.
- •Пример 1.4.
- •Пример 1.5.
- •Пример 1.6.
- •Пример 2.2
- •Пример 2.3
- •Пример 2.4
- •Пример 2.5
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 2.1. Написать разложение вектора по векторам
- •Задание 2.2. Найти косинус угла между векторами и
- •Задание 2.3 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и
- •Задание 2.4. Определить коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?
- •Задание 2.5. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на грань .
- •Глава 3 элементы аналитической геометрии §1. Прямая на плоскости Пример 3.1
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 3.1.
- •§2. Плоскость в пространстве Пример 3.2
- •Пример 3.7
- •Пример 3.8
- •Пример 3.10
- •Пример 3.11
- •Пример 3.12
- •Пример 3.13
- •Пример 3.14
- •Глава 4 введение в анализ § 1. Пределы числовых последовательностей Пример 4.1
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 4.1 Вычислить пределы числовых последовательностей.
- •§ 2. Пределы функций Пример 4.2 Вычислить пределы дробно-рациональных функций:
- •Пример 4.3
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 4.2. Вычислить пределы дробно-рациональных функций
- •Задание 4.3. Вычислить пределы иррациональных функций
- •§ 3. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых. Пример 4.4
- •Пример 4.5
- •Пример 4.6
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 4.4. Вычислить пределы, используя первый замечательный предел и его следствия.
- •Задание 4.5. Вычислить пределы, используя второй замечательный предел и его следствия.
- •Задание 4.6 Определить порядок относительно данной функции, бесконечно малой при .
- •§ 4. Непрерывность функций Пример 4.7
- •Пример 4.8
- •Задания для самостоятельного решения. Задание 4.7. Установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений . Сделать схематический чертёж.
- •Пример 5.1
- •Пример 5.2
- •Задание 5.2.
- •Задание 5.3.
- •Задание 5.4.
- •Задание 5.5.
- •Задание 5.6.
- •Задание 5.7.
- •Задание 5.8.
- •Задание 5.9.
- •Задание 5.10.
- •Задание 5.11.
- •Задание 5.12.
- •Задание 5.13.
- •Задание 5.15.
- •Задание 5.16
- •§ 3. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически Пример 5.17
- •Задание 5.18. Найти и для функций, заданных параметрически.
- •§4. Правило лопиталя Пример 5.19
- •Пример 5.20
- •Задания для самостоятельного решения. Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя. Задание 5.19
- •Задание 5.20.
- •§ 5. Полное исследование функций
- •Пример 5.21
- •Пример 5.22
- •Пример 5.23
- •По данным исследования построим график функции .
- •Задания для самостоятельного решения. Провести полное исследование функций и построить их графики Задание 5.21.
- •Задание 5.22.
- •Задание 5.23.
- •§ 6. Применение дифференциала для приближенного вычисления Пример 5.24
- •Пример 5.25
- •Задание 5.25.
- •Литература
- •Содержание
- •Часть 1.
Задания для самостоятельного решения. Задание 3.1.
Даны вершины треугольника : . Найти:
а) уравнение стороны ;
б) уравнение высоты ;
в) уравнение медианы ;
г) уравнение биссектрисы ;
д) точку пересечения медианы и высоты ;
е) уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно стороне ;
ж) расстояние от точки до прямой .
1. |
|
16. |
|
2. |
|
17. |
|
3. |
|
18. |
|
4. |
|
19. |
|
5. |
|
20. |
|
6. |
|
21. |
|
7. |
|
22. |
|
8. |
|
23. |
|
9. |
|
24. |
|
10. |
|
25. |
|
11. |
|
26. |
|
12. |
|
27. |
|
13. |
|
28. |
|
14. |
|
29. |
|
15. |
|
30. |
|
§2. Плоскость в пространстве Пример 3.2
Найти расстояние от точки до плоскости, походящей через три точки .
Решение:
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки и , имеет вид:
Уравнение плоскости, проходящей через точки и :
Значит,
Раскладывая данный определитель по элементам первой строки, получим:
,
,
,
- уравнение плоскости .
Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле:
.
Так как и - уравнение плоскости получим:
(ед.дл.).
Ответ: - уравнение плоскости , (ед.дл.) - расстояние от точки до плоскости .
Пример 3.3
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , если и .
Решение:
Воспользуемся формулой:
,
где - нормальный вектор плоскости, проходящей через точку . В данном случае и плоскость проходит через точку , значит, уравнение плоскости будет иметь вид:
Ответ:
Пример 3.4
Найти угол между плоскостями: и .
Решение:
Пусть даны плоскости и . Углом между двумя плоскостями называется любой из двух двугранных углов, образованных этими плоскостями. Один из этих двугранных углов равен углу между векторами и , перпендикулярными к данным плоскостям, т.е. . Тогда
.
Имеем, . Тогда
Ответ:
Задания для самостоятельного решения.
Задание 3.2
Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки .
Задание 3.3
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .
Задание 3.4
Найти угол между плоскостями.
§3 ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Пример 3.5
Написать каноническое уравнение прямой, заданной общим уравнением:
Решение:
Каноническое уравнение прямой имеет вид:
,
где - точка, лежащая на прямой, а - направляющий вектор, т.е. вектор коллинеарный данной прямой. Точку найдем из системы, определяющей общее уравнение прямой, полагая одну ее координату известной, например .
.
Получили .
Найдем направляющий вектор . Так как линия пересечения плоскостей и перпендикулярна к обоим нормальным векторам и , то в качестве направляющего вектора можно взять вектор .
Тогда каноническое уравнение прямой: .
Ответ: - каноническое уравнение прямой.
Задания для самостоятельного решения.
Задание 3.5
Написать каноническое уравнение прямой.
§4. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Пример 3.6
Найти точку пересечения прямой и плоскости .
Решение:
Представим прямую параметрическими уравнениями:
Пусть - точка пересечения прямой и плоскости. Так как искомая точка лежит и на прямой и на плоскости, то ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости . Имеем:
Подставляя в соотношения, определяющие параметрические уравнения данной прямой, получим координаты точки :
Итак, точка пересечения прямой и плоскости .
Ответ: - точка пересечения прямой и плоскости.