Задание 4.6 Определить порядок относительно данной функции, бесконечно малой при .

1.	.	2.	.	3.	.
4.	.	5.	.	6.	.
7.	.	8.	.	9.	.
10.	.	11.	.	12.	.
13.	.	14.	.	15.	.
16.	.	17.	.	18.	.
19.	.	20.	.	21.	.
22.	.	23.	.	24.	.
25.	.	26.	.	27.	.
28.	.	29.	.	30.	.

§ 4. Непрерывность функций Пример 4.7

Установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений . Сделать схематический чертёж.

а) ; ; ; б) ; ; .

Решение:

а) ; ; .

Функция непрерывна в точке , если она определена в этой точке и существует конечный предел , причем .

Рассмотрим точку .

Имеем: , , т.е. .

Следовательно, функция непрерывна при .

Рассмотрим точку .

При функция не определена, значит, имеет разрыв. Для выяснения характера разрыва в этой точке найдем пределы справа и слева:

, т.к. при величина стремится к нулю, оставаясь отрицательной.

, т.к. при величина стремится к нулю, оставаясь положительной.

Следовательно, является точкой разрыва второго рода, так как предел справа равен бесконечности.

Дополнительно, для построения схематического чертежа, вычислим пределы функции при . Получим:

;

Н а рисунке 8 изображен схематический чертёж:

x

Рисунок 8

Ответ: функция непрерывна при , является точкой разрыва второго рода.

б) ; ; .

Эта функция является дробно-рациональной, и поэтому она непрерывна во всех точках, в которых знаменатель отличен от нуля.

При знаменатель равен , значит в точке функция непрерывна.

При знаменатель равен нулю. Значит, в точке функция не определена, и поэтому разрывна.

Определим характер разрыва. Для этого найдем односторонние пределы:

; .

Следовательно, является точкой разрыва второго рода, так как пределы справа и слева бесконечны.

Дополнительно, для построения схематического чертежа, вычислим пределы функции при . Получим:

; .

Н а рисунке 9 изображен схематический чертёж:

x

Рисунок 9

Ответ: в точке функция непрерывна, является точкой разрыва второго рода.

Пример 4.8

Найти точки разрыва функция , если они существуют. Сделать схематический чертёж.

а)

б)

Решение:

а)

Данная функция представляет собой кусочно-непрерывную функцию. В интервалах функция задана элементарными функциями, непрерывными в области задания. Точками разрыва могут быть только точки и , в которых функция претерпевает качественное изменение. Исследуем поведение функции при подходе к этим точкам.

При имеем: ;

,

.

Так как все три значения совпали , то в точке функция непрерывна.

При имеем: ;

,

.

Имеем, . Так как односторонние пределы конечны, но не совпадают, значит, в точке функция терпит разрыв первого рода, «скачок» равен 5.

На рисунке 10 изображен схематический чертёж функции:

Рисунок 10

Ответ: в точке функция непрерывна, в точке функция терпит разрыв первого рода, «скачок» равен 5.

б)

Данная функция представляет собой кусочно-непрерывную функцию. В интервалах функция задана элементарными функциями, непрерывными в области задания. Точками разрыва могут быть только точки и , в которых функция претерпевает качественное изменение. Исследуем поведение функции при подходе к этим точкам.

При имеем: ;

,

.

Так как , то в точке функция терпит разрыв первого рода, «скачок» равен 3.

При имеем: ;

,

.

Получили, . Так как односторонние пределы не совпадают, значит, в точке функция терпит разрыв первого рода, «скачок» равен 1.

На рисунке 11 изображен схематический чертёж функции:

Рисунок 11

Ответ: в точке функция терпит разрыв первого рода, «скачок» равен 3, в точке функция терпит разрыв первого рода, «скачок» равен 1.